Algebra I - Esercizio su gruppi
Salve a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio.
Nell'insieme G=Z5\{0}xZ5 si definisce la seguente operazione: (a,b)°(c,d)=(ac,ad+b)
a)dimostrare che G non è un gruppo abeliano
b) Satabilire se ammette un sottogruppo di ordine 5 e determinane uno.
il punto a) l'ho svolto usando la definizione.
sul punto b) non so come procedere.
G ha ordine 20, per cui ammette un sottogruppo di ordine 5, poichè divide l'ordine.
Come determino questo sottogruppo?
Nell'insieme G=Z5\{0}xZ5 si definisce la seguente operazione: (a,b)°(c,d)=(ac,ad+b)
a)dimostrare che G non è un gruppo abeliano
b) Satabilire se ammette un sottogruppo di ordine 5 e determinane uno.
il punto a) l'ho svolto usando la definizione.
sul punto b) non so come procedere.
G ha ordine 20, per cui ammette un sottogruppo di ordine 5, poichè divide l'ordine.
Come determino questo sottogruppo?
Risposte
Così a naso mi verrebbe da dire che il sottogruppo di ordine 5 è ${(1,a):ainZZ_5}$. Fai tu le dovute verifiche, dovrebbe essere corretto 
Un osservazione CariMood: la condizione che l'ordine di un sottogruppo debba dividere l'ordine del gruppo è condizione necessaria ma non sufficiente affinchè esista ovvero puoi trovare gruppi (ad esempio A5 che ha ordine 60 ma non ha sottogruppi di ordine 15) per i quali non esistano sottogruppi per certi divisori.
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