Algebra (ho l'orale lunedì)

[_Tipper]

Siano $fi$ e $psi$ due applicazioni lineari così definite:
$fi : V-> W$ $psi : W -> U$
Supponiamo che l'applicazione composta $psi fi$ sia invertibile.
Quali di queste affermazioni sono sicuramente vere?

1) fi è suriettiva
2) fi è iniettiva
3) psi è suriettiva
4) psi è iniettiva
5) dim(V)=dim(U)
6) dim(V) >= dim(W)
7) dim(W) >= dim(U)
8) psi(Im(fi)) è iniettiva (indico la restrizione di psi a Im(fi))
9) ker(fi) intersezione Im(psi) = 0
10) Ker(fi) + Im(psi) = V (in questo caso con + intendo somma diretta)
11) fi(Ker(psi)) è suriettiva (indico la restrizione di fi a ker(psi))

Io sono sicuro che la 5) è necessariamente vera, mentre la 1,2,3,4,6,7 possono essere vere (ma non necessariamente).
Per quanto riguarda la 8,9,10,11 non saprei.

Ringrazio chiunque può essermi di aiuto.

[Nidhogg]

Se $psifi$ è invertibile, allora deve essere biettiva, e quindi iniettiva e suriettiva. Per essere iniettiva basta che $fi$ sia iniettiva, e per essere suriettiva basta che $psi$ sia suriettiva. Quindi sono necessariamente vere la (2) e la (3) per suppore $psifi$ invertibile.

La (5) è vera perchè essendo l'applicazione composta $psifi: V rarr U$ un isomorfismo, $dim(V)=dim f(V)=dim(U)$
La (6) è falsa perchè essendo l'applicazione $f: V rarr W$ iniettiva possiede sia $ker f={0}$ in quanto per ogni $x!=0$ si ha $f(x)!=f(0)=0$ e sia $dimf(V)=dim(v)$ per il teorema di nullità del rango. Quindi si ha necessariamente $dimV<=dimW$
La (7) è vera perchè essendo l'applicazione $g: W rarr U$ suriettiva implica che $f(W)=U$, quindi necessariamente si ha $dim(U)<=dim(W)$ quindi $dim(W)>=dim(U)$.

[_Tipper]

Quindi se $ker(fi)$ = 0 allora $ker(fi)$ intersezione $im(psi)$ = 0, quindi dovrebbe essere vera anche la 9.
Per quanto riguarda la 10) la somma diretta è uguale all'immagine di psi, che a sua volta è uguale a U.
Deve risultare dimU = dimV, questo comunque non dovrebbe bastare a dire che im(psi)=V, quindi la 10) non dovrebbe essere certamente vera.
Sbaglio?

[Nidhogg]

"Tipper":Quindi se $ker(fi)$ = 0 allora $ker(fi)$ intersezione $im(psi)$ = 0, quindi dovrebbe essere vera anche la 9.
Per quanto riguarda la 10) la somma diretta è uguale all'immagine di psi, che a sua volta è uguale a U.
Deve risultare dimU = dimV, questo comunque non dovrebbe bastare a dire che im(psi)=V, quindi la 10) non dovrebbe essere certamente vera.
Sbaglio?

Credo proprio di si!

[_Tipper]

Avrei un altro dubbio: in R^3 siano E1 E2 E3 tre vettori linearmente indipendenti, e sia A il piano generato ad E1 e da E2 e sia B la retta generata da E3.
Sia E=(E1,E2,E3).
La matrice che rappresenta la proiezione sa A lungo la direzionedi B rispetto alla base E è forse questa? diag(1,1,0)

Grazie