Algebra - Gruppi e sottogruppi
Ciao, mi dareste una mano con questo esercizio? una linea guida su come svolgerlo!?
Dati un gruppo $G$ e un sottogruppo $H$ si ponga $a,b\inG$ e $a~b$
esiste $h\inH$ tale che $b=hah^{-1}$
$~$ è una relazione d'equivalenza?
dati G=S3 e H={ID,(12)} determinare le classi d'equivalenza. ~ è una congruenza?
Dati un gruppo $G$ e un sottogruppo $H$ si ponga $a,b\inG$ e $a~b$
esiste $h\inH$ tale che $b=hah^{-1}$
$~$ è una relazione d'equivalenza?
dati G=S3 e H={ID,(12)} determinare le classi d'equivalenza. ~ è una congruenza?
Risposte
beh mi sembrano abbastanza immediate le verifiche delle 3 proprietà per essere di equivalenza..
è ovviamente riflessiva (banale) e poi simmetrica e transitiva non ci devi poi lavorare cosi tanto.
del secondo cosa non riesci a fare?
è ovviamente riflessiva (banale) e poi simmetrica e transitiva non ci devi poi lavorare cosi tanto.
del secondo cosa non riesci a fare?
A me non lo sembrano, m'illustreresti i passi con cui verifichi che è riflessiva? sopratutto è l'$h\inH$ che non mi capacita..
Il "tilde" si fa così: \$sim\$: $sim$.
Per mostrare che è riflessiva devi vedere che se $a in G$ allora esiste $h in H$ tale che $a = h a h^{-1}$. Si tratta quindi di trovare un tale $h$. Beh, che $h$ potresti scegliere?
Per mostrare che è riflessiva devi vedere che se $a in G$ allora esiste $h in H$ tale che $a = h a h^{-1}$. Si tratta quindi di trovare un tale $h$. Beh, che $h$ potresti scegliere?
Deve essere l'elemento neutro? ma se h e $h^{-1}$ non si annullano? :S
Scusa, tilde la facevo con altgr + ì.. Abitudine..
Scusa, tilde la facevo con altgr + ì.. Abitudine..
allora vediamo un pò di spiegare
riflessiva
poichè $H$ è sottogruppo si ha che $e$ (per me è l identità) appartiene ad H allora ovviamente $ a\sim a$ in quanto
$a=eae^{-1}$
simmetrica
se $a\sim b$ allora $b=hah^{-1}$ ma allora $a=\bar{h}b\bar{h}^{-1}$ e quindi $b\sim a$ osserva che in questo caso ho posto $\bar{h}=h^{-1}$
transitiva
$b=hah^{-1}$, $c=kbk^{-1}$ allora si ha che $c=khah^{-1}k^{-1}=kha(kh)^{-1}$ e dunque $a\sim c$.
riflessiva
poichè $H$ è sottogruppo si ha che $e$ (per me è l identità) appartiene ad H allora ovviamente $ a\sim a$ in quanto
$a=eae^{-1}$
simmetrica
se $a\sim b$ allora $b=hah^{-1}$ ma allora $a=\bar{h}b\bar{h}^{-1}$ e quindi $b\sim a$ osserva che in questo caso ho posto $\bar{h}=h^{-1}$
transitiva
$b=hah^{-1}$, $c=kbk^{-1}$ allora si ha che $c=khah^{-1}k^{-1}=kha(kh)^{-1}$ e dunque $a\sim c$.
"whiterabbit":
Deve essere l'elemento neutro? ma se h e $h^{-1}$ non si annullano? :S
Non capisco cosa intendi: cosa significa " e se $h$ e $h^-1$ non si annullano?"
"whiterabbit":
Deve essere l'elemento neutro? ma se h e $h^{-1}$ non si annullano? :S
Che?
Se poni $h = 1 in H$ allora hai $h a h^{-1} = 1 * a * 1^{-1} = 1 * a * 1 = a$. Quindi $a sim a$.
Ho capito... la proprietà simmetrica invece? Posso provare a buttarla li. Ora ho qualche nozione in più sui gruppi ma non molte ehehe 
Grazie ancora a tutti..
$a sim b$ e $b sim a $
allora $a sim b$ è definita ed è $b=hah^{-1}$ se moltiplichiamo a destra per $h$ otteniamo $bh = ha1$ se ora moltiplichiamo a sinistra per $h^{-1}$ otteniamo $h^{-1}bh = a$ e quindi $b sim a$
Ora tutto stà nel vedere se $h^{-1}bh$ è equivalente ad $hbh^{-1}..
Grazie ancora a tutti..$a sim b$ e $b sim a $
allora $a sim b$ è definita ed è $b=hah^{-1}$ se moltiplichiamo a destra per $h$ otteniamo $bh = ha1$ se ora moltiplichiamo a sinistra per $h^{-1}$ otteniamo $h^{-1}bh = a$ e quindi $b sim a$
Ora tutto stà nel vedere se $h^{-1}bh$ è equivalente ad $hbh^{-1}..
"whiterabbit":
Ora tutto stà nel vedere se $h^{-1}bh$ è equivalente ad $hbh^{-1}..
Non è questione di equivalenza: siccome vuoi mostrare che $b sim a$ (a partire da $a sim b$) stai cercando un $k in H$ tale che $a = k b k^{-1}$. Siccome vale $a = h^{-1}bh$ basta scegliere $k=h^{-1}$.
Non ho capito.. I passaggi di cui sopra sono corretti e alla fine devo assumere che $k = h^{-1}$ ? oppure devo cambiare tipo di procedimento?
Te lo scrivo meglio.
$a sim b$ se e solo se esiste $h in H$ tale che $b=hah^{-1}$.
Proprietà simmetrica: dobbiamo provare che se $a sim b$ allora anche $b sim a$.
Supponiamo allora $a sim b$. Per ipotesi esiste quindi un $x in H$ tale che $b = x a x^{-1}$. Dobbiamo provare che $b sim a$, ovvero trovare un $h in H$ tale che $a = h b h^{-1}$. Da $b = x a x^{-1}$ segue, moltiplicando a sinistra per $x^{-1}$ e a destra per $x$, che $a = x^{-1} b x$. Riepilogando: sappiamo che
$a = x^{-1} * b * x$
e dobbiamo trovare un $h in H$ tale che
$a = h * b * h^{-1}$.
Questo ci fa venire il colpo di genio: basta scegliere $h = x^{-1}$ !!
Vediamo se funziona: $h b h^{-1} = x^{-1} b (x^{-1})^{-1} = x^{-1} b x = a$. Sì funziona!
Chiaro?
$a sim b$ se e solo se esiste $h in H$ tale che $b=hah^{-1}$.
Proprietà simmetrica: dobbiamo provare che se $a sim b$ allora anche $b sim a$.
Supponiamo allora $a sim b$. Per ipotesi esiste quindi un $x in H$ tale che $b = x a x^{-1}$. Dobbiamo provare che $b sim a$, ovvero trovare un $h in H$ tale che $a = h b h^{-1}$. Da $b = x a x^{-1}$ segue, moltiplicando a sinistra per $x^{-1}$ e a destra per $x$, che $a = x^{-1} b x$. Riepilogando: sappiamo che
$a = x^{-1} * b * x$
e dobbiamo trovare un $h in H$ tale che
$a = h * b * h^{-1}$.
Questo ci fa venire il colpo di genio: basta scegliere $h = x^{-1}$ !!
Vediamo se funziona: $h b h^{-1} = x^{-1} b (x^{-1})^{-1} = x^{-1} b x = a$. Sì funziona!
Chiaro?
Ok.. 
Ora per la transitività
$a sim b$ e $b sim c$ allora $a sim c$ $h,k \in H$
$b = hah^{-1}$ e $c = kbk^{-1}$ se moltiplichiamo a destra per $k$ e a sinistra per $k^{-1}$ otteniamo che $k^{-1}ck = b$ andando a sostituirlo in $a sim b$ otteniamo $k^{-1}ck = hah^{-1}$ e scegliendo $k =1$ otteniamo $c = hah^{-1}$ e quindi $a sim c$
Può andare?
Ora per la transitività
$a sim b$ e $b sim c$ allora $a sim c$ $h,k \in H$
$b = hah^{-1}$ e $c = kbk^{-1}$ se moltiplichiamo a destra per $k$ e a sinistra per $k^{-1}$ otteniamo che $k^{-1}ck = b$ andando a sostituirlo in $a sim b$ otteniamo $k^{-1}ck = hah^{-1}$ e scegliendo $k =1$ otteniamo $c = hah^{-1}$ e quindi $a sim c$
Può andare?
"whiterabbit":
$b = hah^{-1}$ e $c = kbk^{-1}$ se moltiplichiamo a destra per $k$ e a sinistra per $k^{-1}$ otteniamo che $k^{-1}ck = b$ andando a sostituirlo in $a sim b$ otteniamo $k^{-1}ck = hah^{-1}$ e scegliendo $k =1$ otteniamo $c = hah^{-1}$ e quindi $a sim c$
Può andare?
Certo che no: $k$ è dato, non lo puoi scegliere.
Pensaci ancora un po', non è difficile.
Non sò come concludere la dimostrazione.. L'ho riscritta così:
$a sim b$ e $b sim c$
Allora supponiamo che esiste un $x \in H$ tale che $b=xax^{-1}$ e un $y \in H$ tale che $c=yby^{-1}$ dobbiamo trovare un $h \in H$ tale che $c=hah^{-1}$
$y^{-1}cy=b$ quindi $y^{-1}cy = xax^{-1}$ ora posso dire che $c=yxax^{-1}y^{-1}$ a questo punto devo trovare quell'h tale che $c=hah^{-1}$ giusto? :-S
quindi se $h=yx$ avrei $x^{-1}y^{-1} = (yx)^{-1}$ e quindi $c=hah^{-1}$
Stò sparando scemate sulle proprità del gruppo vero?
$a sim b$ e $b sim c$
Allora supponiamo che esiste un $x \in H$ tale che $b=xax^{-1}$ e un $y \in H$ tale che $c=yby^{-1}$ dobbiamo trovare un $h \in H$ tale che $c=hah^{-1}$
$y^{-1}cy=b$ quindi $y^{-1}cy = xax^{-1}$ ora posso dire che $c=yxax^{-1}y^{-1}$ a questo punto devo trovare quell'h tale che $c=hah^{-1}$ giusto? :-S
quindi se $h=yx$ avrei $x^{-1}y^{-1} = (yx)^{-1}$ e quindi $c=hah^{-1}$
Stò sparando scemate sulle proprità del gruppo vero?
"whiterabbit":
Non sò come concludere la dimostrazione.. L'ho riscritta così:
$a sim b$ e $b sim c$
Allora supponiamo che esiste un $x \in H$ tale che $b=xax^{-1}$ e un $y \in H$ tale che $c=yby^{-1}$ dobbiamo trovare un $h \in H$ tale che $c=hah^{-1}$
$y^{-1}cy=b$ quindi $y^{-1}cy = xax^{-1}$ ora posso dire che $c=yxax^{-1}y^{-1}$ a questo punto devo trovare quell'h tale che $c=hah^{-1}$ giusto? :-S
quindi se $h=yx$ avrei $x^{-1}y^{-1} = (yx)^{-1}$ e quindi $c=hah^{-1}$
Stò sparando scemate sulle proprità del gruppo vero?
mmh, sì ma hai fatto dei passaggi inutili:
Sostituisci in $c=yby^{-1}$ il $b$ con $xax^{-1}$ trovando che $c=yxax^{-1}y^{-1}$ che è uguale a $c=(yx)a(yx)^{-1}$ (ricordare che $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$). $yx$ appartiene ad $H$ e quindi hai finito.
Si è vero..
Mentre la seconda parte dell'esercizio come si svolge? ho un esempio sulle dispense ma non c'è spiegato niente -,- quindi mi serve a poco, potete darmi una spiegazione in linea di massima su come svolgerlo?
Per dimostrare che $sim$ è una congruenza va bene un procedimento simile?
$sim$ è una congruenza se $a1 sim b1$ e $a2 sim b2$ allora $a1a2 sim b1b2$
Noi abbiamo $b1 = ha1h^{-1}$ e $b2=ha2h^{-1}$ metto assieme e risulta $b1b2 =ha1h^{-1}ha2h^{-1}$ che risulta $b1b2 = ha1a2h^{-1}$
Mentre la seconda parte dell'esercizio come si svolge? ho un esempio sulle dispense ma non c'è spiegato niente -,- quindi mi serve a poco, potete darmi una spiegazione in linea di massima su come svolgerlo?
Per dimostrare che $sim$ è una congruenza va bene un procedimento simile?
$sim$ è una congruenza se $a1 sim b1$ e $a2 sim b2$ allora $a1a2 sim b1b2$
Noi abbiamo $b1 = ha1h^{-1}$ e $b2=ha2h^{-1}$ metto assieme e risulta $b1b2 =ha1h^{-1}ha2h^{-1}$ che risulta $b1b2 = ha1a2h^{-1}$
"whiterabbit":
Per dimostrare che $sim$ è una congruenza va bene un procedimento simile?
$sim$ è una congruenza se $a1 sim b1$ e $a2 sim b2$ allora $a1a2 sim b1b2$
Noi abbiamo $b1 = ha1h^{-1}$ e $b2=ha2h^{-1}$ metto assieme e risulta $b1b2 =ha1h^{-1}ha2h^{-1}$ che risulta $b1b2 = ha1a2h^{-1}$
Si' va bene.
Quanto al resto, coniuga gli elementi di $S_3$ con $H={1,(1\ 2)}=<(1\ 2)>$ e vedi cosa succede!
(coniugare significa appunto moltiplicare da una parte per un elemento e dall'altra per il suo inverso).
Per esempio, la classe di $(1\ 2\ 3)$ sara' data da ${(1\ 2\ 3),\ (1\ 2)(1\ 2\ 3)(1\ 2)^{-1}}$, ecc.
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