ALGEBRA - Gruppi e Sottogruppi
Allora di nuovo qui con un dubbio. Veniamo al dunque, ho quest'esercizio:
Determinare tutti i sottogruppi del gruppo $(ZZ_6, +)$ le relative unioni e intersezioni, disegnare il reticolo di tali sottogruppi.
Benissimo ragioniamo ... allora io so che $ZZ_6 = {bar0, bar1, bar2, bar3, bar4, bar5}$ e secondo il teorema di Lagrange so che l'ordine dei sottogruppi deve essere un divisore dell'ordine del gruppo. In questo caso l'ordine del gruppo è 6 quindi posso avere due sottogruppi uno di ordine due e l'altro di ordine tre. Fin qui non ci piove. Allora da definizione sappiamo che S è un sottogruppo del gruppo G se è esso stesso un gruppo rispetto all'operazione indotta da G su S. Perfetto i sottogruppi che mi escono sono $S_1 = {bar0, bar3}$ e $S_2 = {bar0, bar2, bar4}$. Ora dalla teoria so che l'intersezione di due gruppi si può fare, ma l'unione di due gruppi non si può fare, tranne nel caso che un sottogruppo si sottogruppo dell'altro. Quindi deduco che l'unione io non la posso fare perchè è evidente che non è il caso, mentre per quanto riguarda l'intersezione come mi muovo. Mi spiego. Per definizione l'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B. Ma nel mio caso nessuno elemento dell'insieme $S_1$ appartiene ad $S_2$. Il ragionamento è corretto o non centra niente? E poi che cavolo è il reticolo dei sottogruppi?
Ciao confido nel vostro aiuto.
Determinare tutti i sottogruppi del gruppo $(ZZ_6, +)$ le relative unioni e intersezioni, disegnare il reticolo di tali sottogruppi.
Benissimo ragioniamo ... allora io so che $ZZ_6 = {bar0, bar1, bar2, bar3, bar4, bar5}$ e secondo il teorema di Lagrange so che l'ordine dei sottogruppi deve essere un divisore dell'ordine del gruppo. In questo caso l'ordine del gruppo è 6 quindi posso avere due sottogruppi uno di ordine due e l'altro di ordine tre. Fin qui non ci piove. Allora da definizione sappiamo che S è un sottogruppo del gruppo G se è esso stesso un gruppo rispetto all'operazione indotta da G su S. Perfetto i sottogruppi che mi escono sono $S_1 = {bar0, bar3}$ e $S_2 = {bar0, bar2, bar4}$. Ora dalla teoria so che l'intersezione di due gruppi si può fare, ma l'unione di due gruppi non si può fare, tranne nel caso che un sottogruppo si sottogruppo dell'altro. Quindi deduco che l'unione io non la posso fare perchè è evidente che non è il caso, mentre per quanto riguarda l'intersezione come mi muovo. Mi spiego. Per definizione l'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B. Ma nel mio caso nessuno elemento dell'insieme $S_1$ appartiene ad $S_2$. Il ragionamento è corretto o non centra niente? E poi che cavolo è il reticolo dei sottogruppi?
Ciao confido nel vostro aiuto.
Risposte
Ciao,
guarda, per l'intersezione di sottogruppi sai che non è mai vuota(ci deve sempre essere l'elemento neutro.
Per quanto riguarda il reticolo non so aiutarti, il termine non mi dice niente...
saluti
Editato: ho tolto una cosa che non è sempre vera:)
guarda, per l'intersezione di sottogruppi sai che non è mai vuota(ci deve sempre essere l'elemento neutro.
Per quanto riguarda il reticolo non so aiutarti, il termine non mi dice niente...
saluti
Editato: ho tolto una cosa che non è sempre vera:)
Il reticolo dei sottogruppi è l'insieme dei sottogruppi dotato dell'ordine parziale "inclusione". In pratica devi fare un disegno che esplichi le relazioni di inclusione tra i vari sottogruppi.
Quindi fammi capire bene con l'intersezione ottengo questo? $S_1nnS_2 = {bar0}$
Quello, si
Ok perfetto ti ringrazio. Grazie anche a Martino per la dritta sul reticolo. Ciao.
"amel":
[quote="Jack Durden"] i sottogruppi che mi escono sono $S_1 = {bar0, bar3}$ e $S_2 = {bar0, bar2, bar4}$. ..
Forse non ho seguito bene la discussione, ma occhio che tutti i sottogruppi di $G$ non sono mica solo quei due
[/quote]Quelli sono i sottogruppi che ho trovato in $(ZZ_6, +)$
Scusa avevo cancellato il post... era una cassata 
"Martino":
Il reticolo dei sottogruppi è l'insieme dei sottogruppi dotato dell'ordine parziale "inclusione".
E dotato anche di altre 2 cosette, o sbaglio? Scusa se mi permetto...
"Sandokan.":
[quote="Martino"]Il reticolo dei sottogruppi è l'insieme dei sottogruppi dotato dell'ordine parziale "inclusione".
E dotato anche di altre 2 cosette, o sbaglio? Scusa se mi permetto...
[/quote]Sì, un "reticolo" in generale è più che un insieme parzialmente ordinato. Ma l'insieme dei sottogruppi è già un reticolo di per sé.
Ok, forse per maggior chiarezza dovrei inserire la definizione di reticolo, ma non mi sembra il caso..
"Martino":
[quote="Sandokan."][quote="Martino"]Il reticolo dei sottogruppi è l'insieme dei sottogruppi dotato dell'ordine parziale "inclusione".
E dotato anche di altre 2 cosette, o sbaglio? Scusa se mi permetto...
[/quote]Sì, un "reticolo" in generale è più che un insieme parzialmente ordinato. Ma l'insieme dei sottogruppi è già un reticolo di per sé.
Ok, forse per maggior chiarezza dovrei inserire la definizione di reticolo, ma non mi sembra il caso..
[/quote]Beh, pero' e' importante il fatto che in un reticolo devono esistere sup${a,b}$ e inf${a,b}$ per ogni $a$ e $b$... ovviamente l'insieme dei sottogruppi soddisfa a questo requisito.
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