Algebra-Esercizio sui polinomi

[bigb1]

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Ragazzi ammetto che sono alle prime armi, vedo che il primo per rispondere bisogna dimostrare la regola di Ruffini? Se si come?
Il secondo punto invece vi chiedo se c'è un modo veloce per verificare che il polinomio(di qualsiasi grado) non ammetta radici.

Grazie mille in anticipo per le risposte.

[feddy]

Per (i) puoi usare il fatto che per $x^p - x=0$, con $p$ primo, hai che $x(x^(p-1) -1)=0$.
Si ha $|Z//(pZ)|=varphi(p)=p-1$, e pertanto, per il corollario del thm. di Lagrange (cioè $a^{o r d(G)}=e$, dove G è un gruppo e $a$ un suo elemento, e $e$ l'elemento neutro): $x^(p-1)=bar(1)$ per ogni $x$ in $Z//(pZ)\star$. Ma poiché $p$ è primo, $Z\\pZ\star$, cioè gli invertibili, sono tutti gli elementi esclusa la classe $bar(0)$. Pertanto $x^p-x=x(x-bar(1))*...*(x-bar(p-1))$.
Nel tuo caso: $x^5-x=x(x-bar(1))*...*(x-bar(4))$

Per il secondo punto non mi viene in mente un procedimento veloce...

[Shocker1]

La seconda richiesta non richiede che il polinomio sia irriducibile in $\mathbb{Z_5}[x]$ quindi o giochi un po' e trovi a mano un polinomio di grado $5$ privo di radici oppure consideri il prodotto di un polinomio irriducibile di grado $2$ in $\mathbb{Z_5}$ e uno privo di radici(e quindi irriducibile) di grado $3$.

[Ernesto011]

Aggiungo una mia soluzione, pongo $P(x)=x^5-x$
$i)$ Basta far vedere che $P(0)=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=0$ sostituendo, quindi la scomposizione è immediata.
$ii$ Basta prendere $Q(x)=P(x)+1$, infatti $Q(0)=Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=1$