Algebra di eventi

[amarolucano]

Salve a tutti,
qualcuno saprebbe spiegarmi la differenza tra algebra e sigma-algebra di eventi? mi sembrano proprio uguali..

grazie

[amel3]

Un'algebra è chiusa per intersezione (o equiv. unione (vedi leggi di De Morgan)) finita di sottoinsiemi, mentre una sigma-algebra è chiusa per intersezione (o equiv. unione) numerabile di sottoinsiemi. Quindi è chiaro che una sigma-algebra è un'algebra, ma non necessariamente viceversa.

[amarolucano]

ma con numerabile intendi infiniti eventi sottinsiemi di omega?

[amel3]

Sì infiniti di infinità numerabile; in soldoni, una famiglia è numerabile se ha tanti insiemi quanti sono gli elementi di $NN$, cioè si tratta di una famiglia del tipo ${A_i}_{i \in NN}$. L'unione numerabile di tali insiemi della famiglia è $\uu_{n \in NN} A_n$. Non entro nei formalismi perchè trovi la def. di sigma-algebra dappertutto, wikipedia compreso.
(P.S.: Numerabile non è un'"infinità qualsiasi", però...)

[Martino]

Per farti un esempio, se una $sigma$-algebra su $RR$ contiene gli intervalli della forma $[0,1/n)$ con $n in NN$ allora contiene anche la loro intersezione $bigcap_{n in NN}[0,1/n)$, che è uguale a ${0}$.
Invece se un'algebra su $RR$ contiene tali intervalli, non è detto che contenga ${0}$.

Per inciso l'algebra generata dagli intervalli $[0,1/n)$ non contenendo ${0}$ (cosa che si vede facilmente) è diversa dalla $sigma$-algebra generata dagli stessi intervalli (perché quest'ultima come abbiamo visto contiene ${0}$).