Algebra commutativa

[bezout]

Ciao non riesco a dimostrare questa proposizione:
A anello commutativo e unitario.
P è un A-modulo proiettivo se e soltanto se ogni successione esatta corta di A-moduli 0-->M-->N-->P-->0 spezza (o spacca)
Def:
Una successione esatta corta di A-moduli 0-->M-->N-->P-->0 spacca o spezza se N=Msomma direttaP
Grazie a tutti in anticipo

[rubik2]

innanzitutto chiamo f la mappa da M a N e g la mappa da N a P

per le proprietà dei moduli proiettivi sia h come da diagramma:


h fa commutare il diagramma ed è iniettiva perchè fattorizza una funzione biunivoca

sia $phi:Mo+P->N$ definita $phi(m,p)=f(m)+h(p)$ ottengo il seguente diagramma commutativo:


la mappa $phi$ è un isomorfismo per lo "short 5-lemma" (mi pare) comunque si fa facilmente anche a mano lascio a te l'onere di provare (c'è anche da verificare che i diagrammi effettivamente commutino)

per il viceversa prendi la successione esatta $0->K->R^"(P)"->P->0$ per ipotesi $R^"(P)"=Ko+P$ e si ha la tesi.

dovrebbe essere giusto, nel caso non fosse Martino ci darà una mano

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"rubik":dovrebbe essere giusto, nel caso non fosse Martino ci darà una mano

Grazie, non credevo di essere diventato famoso in questo senso

Comunque confermo ciò che hai detto. Aggiungo che puoi dedurre che la $phi$ nel diagramma è un isomorfismo dal lemma del serpente (infatti ottieni una sequenza esatta $0 to 0 to ker phi to 0 to 0 to coker phi to 0 to 0$). Aggiungo anche che nel mostrare il viceversa hai utilizzato il fatto che un addendo diretto di un modulo libero è proiettivo, e forse questo andrebbe giustificato: se $P oplus X = F$ con $F$ libero sull'anello $R$ e $M to N$ è suriettivo, bisogna mostrare che $Hom(P,M) to Hom(P,N)$ è suriettivo (per definizione). Poiché $F$ è libero è proiettivo, e quindi $Hom(F,M) to Hom(F,N)$ è suriettivo. Quindi partendo da $P to N$ si può trovare un rialzamento $P to M$ (1) componendo con $F to P$, (2) rialzando in un $F to M$ e quindi (3) componendo con $P to F$ (in particolare ho usato solo il fatto che $F$ è proiettivo, quindi ho dimostrato che un addendo diretto di un proiettivo è proiettivo). Se si fa un diagramma diventa chiaro, purtroppo non so fare i diagrammi..

[rubik2]

"Martino":[quote="rubik"]dovrebbe essere giusto, nel caso non fosse Martino ci darà una mano

Grazie, non credevo di essere diventato famoso in questo senso

Comunque confermo ciò che hai detto. Aggiungo che puoi dedurre che la $phi$ nel diagramma è un isomorfismo dal lemma del serpente (infatti ottieni una sequenza esatta $0 to 0 to ker phi to 0 to 0 to coker phi to 0 to 0$). Aggiungo anche che nel mostrare il viceversa hai utilizzato il fatto che un addendo diretto di un modulo libero è proiettivo, e forse questo andrebbe giustificato: se $P oplus X = F$ con $F$ libero sull'anello $R$ e $M to N$ è suriettivo, bisogna mostrare che $Hom(P,M) to Hom(P,N)$ è suriettivo (per definizione). Poiché $F$ è libero è proiettivo, e quindi $Hom(F,M) to Hom(F,N)$ è suriettivo. Quindi partendo da $P to N$ si può trovare un rialzamento $P to M$ (1) componendo con $F to P$, (2) rialzando in un $F to M$ e quindi (3) componendo con $P to F$ (in particolare ho usato solo il fatto che $F$ è proiettivo, quindi ho dimostrato che un addendo diretto di un proiettivo è proiettivo). Se si fa un diagramma diventa chiaro, purtroppo non so fare i diagrammi..[/quote]

OF quando si tratta d'algebra mi pare le tue risposte siano sempre puntuali

a parte questo non ho giustificato quella cosa perchè wikipedia eng la dava come definizione di modulo proiettivo, non ho voluto prendere il quaderno d'algebra perchè avevo la dimostrazione dell'esercizio ed avrei sbirciato

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Comunque i moduli proiettivi son proprio belli