Algebra astratta: esercizio sui gruppi
Sia $G$ un gruppo e $X$ un'insieme. sia $G^X$ l'insieme delle funzioni $X->G$. Siano $f,g\inG^X$. Definiamo $f@g$ nel modo seguente.
$(f@g)(x)=f(x)g(x)$, essendo $x\inX$
a)Dimostrare che $G^X$ è un gruppo rispetto alla composizione $@$
b)Dimostrare che $G^X$ è commutativo se e soltanto se $G$ è commutativo
Un grande aiuto sarebbe già comprendere cosa chiede il problema. Non credo che $f(x)g(x)$ sia un prodotto. Perché l'elemento neutro dovrebbe essere $Id:x|->x$. Quindi $Id(x)=x$. Ma allora $f(x)Id(x)=f(x)x$
Tuttavia poichè $f@Id=f=>(f@Id)(x)=f(x)=f(x)x$ che sembra provare non esista elemento neutro. Perciò non dovrebbe essere una moltiplicazione, ma una generica operazione interna a $G$ che indico con $**$
$(f@g)(x)=f(x)**g(x)$
Ammesso che l'elemento neutro sia $Id:x|->x$
Vale la proprietà associativa $((f@g)@h)(x)=(f@(g@h))(x)=f(x)**g(x)**h(x)$
Poiché $G$ è un gruppo $f(x)inG$ deve avere un elemento inverso in $G$. Se tale elemento è immagine di $X$ tramite una funzione $g$, chiamiamo $g=f^(-1)$, perciò esiste in $G^X$ l'inverso di una qualsiasi funzione $f$
Per quanto riguarda la commutatività
$(f@g)(x)=f(x)**g(x)$
$(g@f)(x)=g(x)**f(x)$
Dunque $f@g=g@f<=>f(x)=g(x)$, cioè il gruppo delle funzioni $G^X$ è commutativo solo se il gruppo delle immagini di $X$ in $G$ è commutativo.
$(f@g)(x)=f(x)g(x)$, essendo $x\inX$
a)Dimostrare che $G^X$ è un gruppo rispetto alla composizione $@$
b)Dimostrare che $G^X$ è commutativo se e soltanto se $G$ è commutativo
Un grande aiuto sarebbe già comprendere cosa chiede il problema. Non credo che $f(x)g(x)$ sia un prodotto. Perché l'elemento neutro dovrebbe essere $Id:x|->x$. Quindi $Id(x)=x$. Ma allora $f(x)Id(x)=f(x)x$
Tuttavia poichè $f@Id=f=>(f@Id)(x)=f(x)=f(x)x$ che sembra provare non esista elemento neutro. Perciò non dovrebbe essere una moltiplicazione, ma una generica operazione interna a $G$ che indico con $**$
$(f@g)(x)=f(x)**g(x)$
Ammesso che l'elemento neutro sia $Id:x|->x$
Vale la proprietà associativa $((f@g)@h)(x)=(f@(g@h))(x)=f(x)**g(x)**h(x)$
Poiché $G$ è un gruppo $f(x)inG$ deve avere un elemento inverso in $G$. Se tale elemento è immagine di $X$ tramite una funzione $g$, chiamiamo $g=f^(-1)$, perciò esiste in $G^X$ l'inverso di una qualsiasi funzione $f$
Per quanto riguarda la commutatività
$(f@g)(x)=f(x)**g(x)$
$(g@f)(x)=g(x)**f(x)$
Dunque $f@g=g@f<=>f(x)=g(x)$, cioè il gruppo delle funzioni $G^X$ è commutativo solo se il gruppo delle immagini di $X$ in $G$ è commutativo.
Risposte
Partiamo dall'inizio, Consideriamo $(G,*)$ un gruppo
Consideriamo $G^X= {f|f:X->G}$
Intanto notiamo che la nostra $°$ non è la composizione di funzioni ma bensì l'operazione
del tipo
$^. : G^X \times G^X -> G^X$
$\forall f, g in X : (f,g) -> f*g$ ove $AA x in X : (f^.g)(X):=f(x)*g(x)$ (nella seconda uguaglianza $*$ è il prodotto di $G$)
Ti faccio notare che se $f in G^X => f(x) in G , \forall x in X$ , pertanto $f(x)$ è un elemento di $G$, il quale è un gruppo per ipotesi.
Verifichiamo che la struttura $(G^X,°) $ è un gruppo.
Proviamo l'associatività :
dobbiamo provare che $AA f,g,h \in G^X : f^.(g^.h) = (f^.g)^.h$
Ovviamente sia il membro destro che il membro sinistro sono elementi di $G^X$, quindi entrambe le funzioni hanno lo stesso insieme di definizione e lo stesso insieme di arrivo. Ci resta allora da provare che :
$AA x in X : (f^.(g^.h))(X) = ((f^.g)^.h)(X)$ e cioè che in corrispondenza di ogni x esse assumono gli stessi valori.
Abbiamo allora che
$(f^.(g^.h))(X) ={$ applico la definizione del prodotto}$=f(x)*((f^.g)(x))$={di nuovo la definizione del prodotto di $G^X$}$=f(x)*(g(x)*h(x))=${ora mi accorgo che sono elementi di $G$ e quindi vale la proprietà associativa, dunque ho che }$=(f(x)*g(x))*h(x)=${applicando ripetutamente la definizione di prodotto ho che }$=(f ^. g)(x)*h(x)=((f^.g)^.h)(x)$ e cioè ciò che volevo provare. Pertanto $^.$ è associativa.
Ora dobbiamo preoccuparci se la struttura $(G^X,^.)$ possiede un elemento neutro, la risposta è affermativa.
Basta prendere l'applicazione : $f_(e_G) : X -> G t.c AAx\in X , f(x)=e_G$ (cerca di spiegarti , perché?)
Lascio a te la verifica che $AA f \in G^X : f^.f_(e_G)=f= f_(e_G)^.f$
E lascio anche a te il pensare chi potrebbe essere $AA f \in G^X , f^-1 \in G^X$
Consideriamo $G^X= {f|f:X->G}$
Intanto notiamo che la nostra $°$ non è la composizione di funzioni ma bensì l'operazione
del tipo
$^. : G^X \times G^X -> G^X$
$\forall f, g in X : (f,g) -> f*g$ ove $AA x in X : (f^.g)(X):=f(x)*g(x)$ (nella seconda uguaglianza $*$ è il prodotto di $G$)
Ti faccio notare che se $f in G^X => f(x) in G , \forall x in X$ , pertanto $f(x)$ è un elemento di $G$, il quale è un gruppo per ipotesi.
Verifichiamo che la struttura $(G^X,°) $ è un gruppo.
Proviamo l'associatività :
dobbiamo provare che $AA f,g,h \in G^X : f^.(g^.h) = (f^.g)^.h$
Ovviamente sia il membro destro che il membro sinistro sono elementi di $G^X$, quindi entrambe le funzioni hanno lo stesso insieme di definizione e lo stesso insieme di arrivo. Ci resta allora da provare che :
$AA x in X : (f^.(g^.h))(X) = ((f^.g)^.h)(X)$ e cioè che in corrispondenza di ogni x esse assumono gli stessi valori.
Abbiamo allora che
$(f^.(g^.h))(X) ={$ applico la definizione del prodotto}$=f(x)*((f^.g)(x))$={di nuovo la definizione del prodotto di $G^X$}$=f(x)*(g(x)*h(x))=${ora mi accorgo che sono elementi di $G$ e quindi vale la proprietà associativa, dunque ho che }$=(f(x)*g(x))*h(x)=${applicando ripetutamente la definizione di prodotto ho che }$=(f ^. g)(x)*h(x)=((f^.g)^.h)(x)$ e cioè ciò che volevo provare. Pertanto $^.$ è associativa.
Ora dobbiamo preoccuparci se la struttura $(G^X,^.)$ possiede un elemento neutro, la risposta è affermativa.
Basta prendere l'applicazione : $f_(e_G) : X -> G t.c AAx\in X , f(x)=e_G$ (cerca di spiegarti , perché?)
Lascio a te la verifica che $AA f \in G^X : f^.f_(e_G)=f= f_(e_G)^.f$
E lascio anche a te il pensare chi potrebbe essere $AA f \in G^X , f^-1 \in G^X$
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