Algebra: aiuto dimostrazione sugli R-moduli
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di una mano per dimostrare questo fatto:
Sia $M$ un R-modulo
Supponiamo che $\forall m \in M$ $m$ si possa scrivere in modo unico come $m=m_1+...+m_N$ dove $m_i \in M_i \forall i=1,...,N$ e gli $M_i$ sono sottomoduli di $M$.
Devo provare che
$M=M_1 \oplus ... \oplusM_N$
La dimostrazione fatta dal mio docente non mi è chiara; ve la riporto così magari qualcuno trae spunto per farmi comprendere:
dim
per mostrare la tesi devo fare vedere che
(a) $M$ è somma di sottomoduli: $M=M_1+...+M_N$ e questo mi è chiaro e ovvio dal fatto che per ipotesi $m=m_1+...+m_N$
(b) la somma degli $M_i$ è diretta: $\forall i=1,...,N$ ho che $M_i \cap (\sum_(j=1, j\nei)^n M_j)={0}$
Poiché la scrittura degli $m \in M$ è unica per ipotesi, avremo in particolare
$\forall i=1,...,N$ $m_i=0_1+....+0_(i-1)+m_i+0_(i+1)+...+0_N$
dove questi $0_i$ corrispondono agli $0$ degli $M_j$ che coincidono anche con lo $0$ di $M$ (fino a qui è tutto chiarissimo)
dunque per la stessa ragione l'unico modo di scrivere un elemento della somma dei rimanenti è:
$m=m_1+...+0+...+m_N$
dunque si deduce che l'elemento che sta nell'intersezione è forzatamente $0$
Probabilmente mi perdo in un bicchiere d'acqua...
Aiuto!
Avrei bisogno di una mano per dimostrare questo fatto:
Sia $M$ un R-modulo
Supponiamo che $\forall m \in M$ $m$ si possa scrivere in modo unico come $m=m_1+...+m_N$ dove $m_i \in M_i \forall i=1,...,N$ e gli $M_i$ sono sottomoduli di $M$.
Devo provare che
$M=M_1 \oplus ... \oplusM_N$
La dimostrazione fatta dal mio docente non mi è chiara; ve la riporto così magari qualcuno trae spunto per farmi comprendere:
dim
per mostrare la tesi devo fare vedere che
(a) $M$ è somma di sottomoduli: $M=M_1+...+M_N$ e questo mi è chiaro e ovvio dal fatto che per ipotesi $m=m_1+...+m_N$
(b) la somma degli $M_i$ è diretta: $\forall i=1,...,N$ ho che $M_i \cap (\sum_(j=1, j\nei)^n M_j)={0}$
Poiché la scrittura degli $m \in M$ è unica per ipotesi, avremo in particolare
$\forall i=1,...,N$ $m_i=0_1+....+0_(i-1)+m_i+0_(i+1)+...+0_N$
dove questi $0_i$ corrispondono agli $0$ degli $M_j$ che coincidono anche con lo $0$ di $M$ (fino a qui è tutto chiarissimo)
dunque per la stessa ragione l'unico modo di scrivere un elemento della somma dei rimanenti è:
$m=m_1+...+0+...+m_N$
dunque si deduce che l'elemento che sta nell'intersezione è forzatamente $0$
Probabilmente mi perdo in un bicchiere d'acqua...
Aiuto!
Risposte
Puoi vederla così: prendi un $m_i$ che sta nell'intersezione. Allora esistono $m_j$ per $j ne i$ tali che $m_i = sum_{j ne i} m_j$. Portando tutto a destra risulta:
$m_1+...+m_{i-1}-m_i+m_{i+1}+...+m_n = 0$
Questa è l'unica scrittura dell'elemento $0$. Ma poiché abbiamo anche quest'altra scrittura:
$0_1+...+0_{i-1}+0_i+0_{i+1}+...+0_n = 0$
le due scritture devono coincidere (per l'unicità!), e quindi $m_j = 0_j=0$ per ogni $j ne i$ e $-m_i = 0_i=0$, ovvero $m_i=0_i=0$.
$m_1+...+m_{i-1}-m_i+m_{i+1}+...+m_n = 0$
Questa è l'unica scrittura dell'elemento $0$. Ma poiché abbiamo anche quest'altra scrittura:
$0_1+...+0_{i-1}+0_i+0_{i+1}+...+0_n = 0$
le due scritture devono coincidere (per l'unicità!), e quindi $m_j = 0_j=0$ per ogni $j ne i$ e $-m_i = 0_i=0$, ovvero $m_i=0_i=0$.
"Martino":
prendi un $m_i$ che sta nell'intersezione. Allora esistono $m_j$ per $j ne i$ tali che $m_i = sum_{j ne i} m_j$. Portando
.
Non capisco questo passaggio:
Perché $m_i=m_1+...+m_(i-1)+m_(i+1)+...+m_N$ ?
Scusami se sono duro di comprendonio, ma l'algebra non è mia amica!
Se $m_i in M_i \cap (\sum_(j=1, j\nei)^n M_j)$ allora in particolare $m_i in \sum_(j=1, j\nei)^n M_j$ e quindi $m_i$ si potrà scrivere come opportuna somma $sum_{j ne i}m_j$ con $m_j in M_j$ per ogni $j$. No?
Si perfetto; ora mi è chiaro!
Grazie!
Grazie!
un'altra cosa: il simbolo $R^R$ cosa denota di solito?
Perché mi si dice che se $R$ è commutativo $R^R$ è privo di torsione se e solo se $R$ è dominio di integrità.
Solo che non capisco quel simbolo...
Perché mi si dice che se $R$ è commutativo $R^R$ è privo di torsione se e solo se $R$ è dominio di integrità.
Solo che non capisco quel simbolo...
"fabry1985mi":
un'altra cosa: il simbolo $R^R$ cosa denota di solito?
Di solito se $X$ è un insieme $X^X$ denota l'insieme delle funzioni $X to X$.
Nel tuo caso $R^R$ è un anello con le operazioni per componenti, ed è anche un $R$-modulo perché contiene le costanti.
Il punto è che non credo sia l'insieme delle applicazioni perché in realtà non è un $R^R$ bensì un $R$ con un pedice $R$ in basso, ma non a destra, ma a sinistra...
Spero di essermi riuscito a spiegare...
Ok, ho risolto trovando la notazione su un vecchio quaderno di appunti.
Significa che si vede un anello $R$ come un modulo su se stesso!
Spero di essermi riuscito a spiegare...
Ok, ho risolto trovando la notazione su un vecchio quaderno di appunti.
Significa che si vede un anello $R$ come un modulo su se stesso!
"fabry1985mi":sono riuscito a scrivere questa cosa: $""_R R$!!! Ho usato questo codice: \$""_R R\$.
...un $R$ con un pedice $R$ in basso, ma non a destra, ma a sinistra...
[OT] Ho provato anche in LaTeX ma non ci sono riuscito. LaTeX non interpreta "" come carattere fantasma. Come si può fare? [/OT]
Ok, quindi la cosa da dimostrare è:
"se $R$ è commutativo allora $R$ (come modulo su se stesso col prodotto di $R$) è privo di torsione se e solo se $R$ è dominio di integrità."
Dove trovi difficoltà nel dimostrarlo?
"se $R$ è commutativo allora $R$ (come modulo su se stesso col prodotto di $R$) è privo di torsione se e solo se $R$ è dominio di integrità."
Dove trovi difficoltà nel dimostrarlo?
"Martino":
Ok, quindi la cosa da dimostrare è:
"se $R$ è commutativo allora $R$ (come modulo su se stesso col prodotto di $R$) è privo di torsione se e solo se $R$ è dominio di integrità."
Dove trovi difficoltà nel dimostrarlo?
Adesso è tutto chiaro: il problema riguardava solo la notazione perché una volta capito cosa significasse quel simbolo, l'implicazione mi è chiara.
Piuttosto ho qualche problema col dimostrare il seguente fatto:
Sia $D$ un PID (dominio a ideali principali) e sia $M$ un $R$-modulo tale che $M~=D^t$ il modulo libero di rango $t$. Se $K$ è un sottomodulo di $M$, allora $K~=D^s$ con $s<=t$.
Io mi perdo subito nella dimostrazione del prof, quindi se qualcuno riesce a darmi una mano è ben accetta...
Se volete che posti gli appunti che ho preso in aula ditemelo che così lo faccio
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