Algebra

[marcus1121]

Ho studiato insiemistica ma mi sfugge! Ho capito che si tratta dell'insieme potenza ma ho dubbi.
Descrivere
gli insiemi P(P((1))) ; P(P(P(1))))


il numero 1 è chiuso tra parentesi graffe, ma non sapevo come farla.

Grazie

[vict85]

L'insieme delle parti di un insieme di un elemento è un insieme di due elementi. L'insieme delle parti di un insieme di due elementi ha 4 elementi...

[marcus1121]

Quindi se io scrivessi P(P(P(P(1))))) significa che l'insieme delle parti di un insieme di 3 elementi ha 6 elementi?

Mi puoi delucidare sul tipo di sintassi usato per mezzo delle parentisi e scriverlo sotto un'altra forma?

[adaBTTLS1]

no, non si fa "per due".
l'insieme delle parti di un insieme di $n$ elementi ha $2^n$ elementi.
dunque $|P({1})|=2, |P(P({1}))|=4, |P(P(P({1})))|=16, |P(P(P(P({1}))))|=2^16$.
spero sia chiaro. conosci la formula della cardinalità dell'insieme delle parti?
ciao.

[marcus1121]

Conosco la formula della cardinalità dell'insieme delle parti...
Per esempio se un insieme A=(a;b;c) non so fare le parentesi graffe...

si applica la formula per cui si ha 2^3 per cui gli elementi saranno 8.
Quello che non ho chiaro è questo: con l'altro tipo di sintassi da te per esempio usata,
come faccio a capire quanti sono gli elementi per applicare la formula? Per esempio dalla scrittura P(P(P(1)))) ho capito
dal tuo esempio che gli elementi sono 4 per cui 4^2= 16 Ma ho ancora delle perplessità.
Spero di essermi spiegato!
Grazie mille

[vict85]

Una formula non ricorsiva non la conosco

0 --- $2^0 = 1$
1 --- $2^1 = 2$
2 --- $2^2 = 4$
3 --- $2^4 = 16$
4 --- $2^16$
5 --- $2^(2^16)$

Le graffe nelle formule si fanno così: \{ \}

In wondows, per far venire la graffa ci sono tre modi:
ALT (tieni premuto) + 1 2 3 (uno dopo l'altro) {
ALT (tieni premuto) + 1 2 5 (uno dopo l'altro) }

CTRL+ALT+MAIUSC+'è'(quello dove ci sono le parentesi graffe) {
CTRL+ALT+MAIUSC+'+'(quello dove ci sono le parentesi graffe) }

ALT GR+MAIUSC+'è'(quello dove ci sono le parentesi graffe) {
ALT GR+MAIUSC+'+'(quello dove ci sono le parentesi graffe) }

Gli ultimi due sono praticamente lo stesso metodo.

Per attivare le formule devi mettere tra dollari e usare la sintassi latex o che trovi scritta in "il nostro forum".

[Studente Anonimo]

Provo a dirlo anch'io.

In generale se $X$ e' un insieme allora $|P(X)|=2^{|X|}$.


${1}$ ha $1$ elemento.

$A=P({1})$ e' l'insieme delle parti di ${1}$ (che ha $1$ elemento) quindi ha $2^{|{1}|}=2$ elementi.

$P(P({1}))=P(A)=B$ e' l'insieme delle parti di $A$ (che ha $2$ elementi) quindi ha $2^{|A|}=2^2=4$ elementi.

$P(P(P({1})))=P(B)$ e' l'insieme delle parti di $B$ (che ha $4$ elementi) quindi ha $2^{|B|}=2^4=16$ elementi.

[adaBTTLS1]

Quello che non ho chiaro è questo: con l'altro tipo di sintassi da te per esempio usata,
come faccio a capire quanti sono gli elementi per applicare la formula? Per esempio dalla scrittura P(P(P(1)))) ho capito
dal tuo esempio che gli elementi sono 4 per cui 4^2= 16 Ma ho ancora delle perplessità.

ormai ti hanno risposto altri, però 16 viene da 2^4 e non da 4^2. il simbolo di valore assoluto usato con gli insiemi indica la cardinalità, cioè il numero degli elementi nel caso di insiemi finiti. dunque |{1}|=1, da cui l'insieme delle parti di {1} ha 2^1=2 elementi.
se segui le indicazioni di Martino, avrai un nuovo insieme di partenza di 2 elementi, il cui insieme delle parti avrà 2^2=4 elementi.
l'insieme delle parti di quest'ultimo insieme avrà 2^4=16 elementi, e l'ultimo che ti ho scritto io avrà 2^16 elementi.

dunque come ti suggeriva vict85 si arriverà a $|P(P(P....(P({1}))....))|=2^(2^(2^(...^(2^(2^1)))))$ , dove ci sono tanti P quanti 2 ...

spero sia chiaro. ciao.