Algebra

[bezout]

ciao a tutti,
volevo chiedere $ZZ/nZZ$ è uno $ZZ$-modulo libero? secondo me no però non so bene come dirlo
grazie a tutti in anticipo

[rubik2]

considera la successione esatta corta $0->ZZ->ZZ->ZZ_n->0$

dove la prima mappa è $f(z)=n*z$ la seconda è la proiezione canonica $pi(z)=[z]_n$

se $ZZ_n$ fosse libero sarebbe proiettivo quindi la successione esatta corta si spezzerebbe e dovrebbe essere $ZZ~=ZZo+ZZ_n$

come l'altra volta dovrebbe essere corretto, contiamo sul controllo di Martino

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Rubik la tua dimostrazione va benissimo ma forse è un po' troppo avanzata

Uno $ZZ$-modulo libero $M$ è del tipo $M=ZZ^{(T)}$ dove $T$ è un insieme. $ZZ^{(T)}$ è quel sottoinsieme del prodotto cartesiano $ZZ^T$ formato delle $T$-ple che hanno solo un numero finito di entrate non nulle. Per esempio l'anello dei polinomi $ZZ[X]$ è lo $ZZ$-modulo libero $ZZ^{(T)}$ dove $T={1,x,x^2,...}$.

Ora è immediato che se $M$ è libero su $ZZ$ e $0 ne m in M$, $0 ne z in ZZ$ allora $zm ne 0$ (infatti un'entrata non nulla viene moltiplicata per un intero non nullo quindi rimane non nulla). Questo non è il caso di $ZZ//n ZZ$, infatti se $M= ZZ//n ZZ$ e $0 ne m in M$ allora $n * m = 0$. Quindi $ZZ/(nZZ)$ non è libero.

In sintesi, un modulo con torsione non è libero: ogni modulo libero è senza torsione.
(la torsione di un $A$-modulo $M$ è l'insieme degli $m in M$ tali che esiste un $0 ne a in A$ tale che $a*m = 0$).