Algebra
Qualcuno mi saprebbe fare la dimostrazione di Euler-Fermat " Sia n appartenente ai nuemri natutrali.Per ogni a appartenente ai numeri razioneli tale che mcd(n,a)=1 vale che a^(nф)=1 (modulo n)"?
Risposte
provo a spiegartelo nella maniera più elementare che posso...
-prima osservazione: se un numero $a$ è primo con $n$ lo saranno tutte le sue potenze;
-seconda osservazione: un numero è primo con n se e solo se lo è il suo resto nella divisione per $n$ (ti è chiaro il perchè di queste 2 osservazioni?);
consideriamo allora l'insieme A di tutti i resti nella divisione per $n$ dei numeri che siano primi con $n$.
- terza osservazione: il numero dei resti di tutte le possibili potenze di $a$ è uguale a quel $k$ tale che $a^k=1 (n)$ (definiamo k l'ordine di $a$), infatti:
se consideriamo i numeri (da qui in poi tutti considerati come resti):
$a,a^2,a^3,...$ se otteniamo per la prima volta tra queste potenze 1
$a,a^2,...,1$ i successivi continueranno il ciclo, cioè il successivo sarà $1*a=a$, il successivo ancora sarà $a*a=a^2$ e così via:
$a,a^2,...1,a,a^2,...,1,a,a^2,...,1,.....$
-quarta osservazione: nella serie $a,a^2,...1$ non ci possono essere numeri uguali altrimenti se per assurdo fosse così:
$a,a^2,...b,b*a,b*a^2,...,b=,...1$ allora nella sottoserie $b,b*a,b*a^2,...,b$ il penultimo numero dovrebbe essere 1 poichè $1*b=b=$ e d'altronde dati $a$, $c$ se esiste esiste un unico $b$ tale che $a*b=c$. Ma avevamo detto che nella serie $a,a^2,...,1$ quest' 1 doveva essere il primo 1 a comparire tra le potenze di $a$.
Consideriamo l'insieme B dei resti nella divisione per $n$ di tutti le possibili potenze dia $a$. Allora per la prima osservazione B può essere o tutto l'insieme A (di più non si può) oppure è un suo sottoinsieme. Se B=A allora è fatta!!: infatti i numeri primi con n sono proprio $fi(n)$ per cui per l'osservazione 3 $a^fi(n)=1$ ( ed è proprio ll'ordine di $a$). Supponiamo allora B essere un sottoinsieme di A con k elementi. Consideriamo un elemento $c$ di A non appartenente a B ( cioè un numero compreso tra 0 e $n-1$ primo con n e che non si raggiunto da nessuna potenza di $a$). Allora i numeri della serie:
$c*a,c*a^,...,c$ sono:
- tutti distinti tra loro: infatti c*a^m=c*a^n$ implicherebbe che $a^mero c*a^m appartenesse a B si avrebbe $c*a^m=a^n$ per cui $c=a^(n-m)$ e $c$ apparterrebbe a B, cosa che per ipotesi abbiamo supposto non essere vero.
Dunque abbiamo trovato un altro sottoinsieme C distinto da B di A con =a^n$ il che è impossibile per la quarta osservazione;
- sono tutti elementi che non appartengono a B: altrimenti se un num$k$ elementi.
Se l'unione di B e C non fa A sua volta consideriamo un altro elemento $d$ di A non appartenente nè a B nè a C. Ancora si ha che i numeri della serie
$d*a,d*^2,...,d$ sono:
-tutti distinti;
-sono tutti elementi che non appartengono nè a B nè a C. (per gli stessi motivi di prima).
Anche D dunque ha k elementi ed è disgiunto da A e B. Continuando così costruiamo altri insiemi E,F,G,H,... sottoinsiemi di A fino a che la loro unione non faccia A. Essi hanno queste proprietà:
-sono tutti disgiunti;
-hanno tutti esattamente k elementi.
Dunque A è partizionato da sottoinsiemi che hanno tutti esattamente k elementi. Ma il numero di elementi di A è $fi(n)$ dunque si ha che $k$ divide $fi(n)$ o in formule $fi(n)=k*x$ con $x$ intero. Ricordando per la terza osservazione che $a^k=1$ si ha $(a^k)^x=1^x$ e quindi $a^fi(n)=1$
MAH...COSI' SARA' PIU' CHIARO??? non so ma ho voluto lo stesso provare una via secondo me più intuitiva. Se qualcosa non ti è chiaro fammelo sapere.
Ciao.
-prima osservazione: se un numero $a$ è primo con $n$ lo saranno tutte le sue potenze;
-seconda osservazione: un numero è primo con n se e solo se lo è il suo resto nella divisione per $n$ (ti è chiaro il perchè di queste 2 osservazioni?);
consideriamo allora l'insieme A di tutti i resti nella divisione per $n$ dei numeri che siano primi con $n$.
- terza osservazione: il numero dei resti di tutte le possibili potenze di $a$ è uguale a quel $k$ tale che $a^k=1 (n)$ (definiamo k l'ordine di $a$), infatti:
se consideriamo i numeri (da qui in poi tutti considerati come resti):
$a,a^2,a^3,...$ se otteniamo per la prima volta tra queste potenze 1
$a,a^2,...,1$ i successivi continueranno il ciclo, cioè il successivo sarà $1*a=a$, il successivo ancora sarà $a*a=a^2$ e così via:
$a,a^2,...1,a,a^2,...,1,a,a^2,...,1,.....$
-quarta osservazione: nella serie $a,a^2,...1$ non ci possono essere numeri uguali altrimenti se per assurdo fosse così:
$a,a^2,...b,b*a,b*a^2,...,b=,...1$ allora nella sottoserie $b,b*a,b*a^2,...,b$ il penultimo numero dovrebbe essere 1 poichè $1*b=b=$ e d'altronde dati $a$, $c$ se esiste esiste un unico $b$ tale che $a*b=c$. Ma avevamo detto che nella serie $a,a^2,...,1$ quest' 1 doveva essere il primo 1 a comparire tra le potenze di $a$.
Consideriamo l'insieme B dei resti nella divisione per $n$ di tutti le possibili potenze dia $a$. Allora per la prima osservazione B può essere o tutto l'insieme A (di più non si può) oppure è un suo sottoinsieme. Se B=A allora è fatta!!: infatti i numeri primi con n sono proprio $fi(n)$ per cui per l'osservazione 3 $a^fi(n)=1$ ( ed è proprio ll'ordine di $a$). Supponiamo allora B essere un sottoinsieme di A con k elementi. Consideriamo un elemento $c$ di A non appartenente a B ( cioè un numero compreso tra 0 e $n-1$ primo con n e che non si raggiunto da nessuna potenza di $a$). Allora i numeri della serie:
$c*a,c*a^,...,c$ sono:
- tutti distinti tra loro: infatti c*a^m=c*a^n$ implicherebbe che $a^mero c*a^m appartenesse a B si avrebbe $c*a^m=a^n$ per cui $c=a^(n-m)$ e $c$ apparterrebbe a B, cosa che per ipotesi abbiamo supposto non essere vero.
Dunque abbiamo trovato un altro sottoinsieme C distinto da B di A con =a^n$ il che è impossibile per la quarta osservazione;
- sono tutti elementi che non appartengono a B: altrimenti se un num$k$ elementi.
Se l'unione di B e C non fa A sua volta consideriamo un altro elemento $d$ di A non appartenente nè a B nè a C. Ancora si ha che i numeri della serie
$d*a,d*^2,...,d$ sono:
-tutti distinti;
-sono tutti elementi che non appartengono nè a B nè a C. (per gli stessi motivi di prima).
Anche D dunque ha k elementi ed è disgiunto da A e B. Continuando così costruiamo altri insiemi E,F,G,H,... sottoinsiemi di A fino a che la loro unione non faccia A. Essi hanno queste proprietà:
-sono tutti disgiunti;
-hanno tutti esattamente k elementi.
Dunque A è partizionato da sottoinsiemi che hanno tutti esattamente k elementi. Ma il numero di elementi di A è $fi(n)$ dunque si ha che $k$ divide $fi(n)$ o in formule $fi(n)=k*x$ con $x$ intero. Ricordando per la terza osservazione che $a^k=1$ si ha $(a^k)^x=1^x$ e quindi $a^fi(n)=1$
MAH...COSI' SARA' PIU' CHIARO??? non so ma ho voluto lo stesso provare una via secondo me più intuitiva. Se qualcosa non ti è chiaro fammelo sapere.
Ciao.
Mi è tutto chiaro ..grazie tante!
Ciao valy,
se conosci un po' i gruppi e gli anelli c'è una dimostrazione davvero immediata. Prendi l'anello $A=ZZ//nZZ$. Allora un intero è coprimo con $n$ se e solo se la sua classe in $A$ è invertibile (questo fatto segue dall'algoritmo di Euclide). Quindi il gruppo $U$ degli elementi invertibili di $A$ ha ordine $\varphi(n)$. Poiché $U$ è un gruppo moltiplicativo finito, ogni suo elemento elevato all'ordine di $U$ fa 1, in altre parole $a^{\varphi(n)}=1$ per ogni $a \in U$.
Se quello che ho appena scritto ti sembra arabo, dimenticalo senza problemi
se conosci un po' i gruppi e gli anelli c'è una dimostrazione davvero immediata. Prendi l'anello $A=ZZ//nZZ$. Allora un intero è coprimo con $n$ se e solo se la sua classe in $A$ è invertibile (questo fatto segue dall'algoritmo di Euclide). Quindi il gruppo $U$ degli elementi invertibili di $A$ ha ordine $\varphi(n)$. Poiché $U$ è un gruppo moltiplicativo finito, ogni suo elemento elevato all'ordine di $U$ fa 1, in altre parole $a^{\varphi(n)}=1$ per ogni $a \in U$.
Se quello che ho appena scritto ti sembra arabo, dimenticalo senza problemi
"Martino":
Ciao valy,
se conosci un po' i gruppi e gli anelli c'è una dimostrazione davvero immediata. Prendi l'anello $A=ZZ//nZZ$. Allora un intero è coprimo con $n$ se e solo se la sua classe in $A$ è invertibile (questo fatto segue dall'algoritmo di Euclide). Quindi il gruppo $U$ degli elementi invertibili di $A$ ha ordine $\varphi(n)$. Poiché $U$ è un gruppo moltiplicativo finito, ogni suo elemento elevato all'ordine di $U$ fa 1, in altre parole $a^{\varphi(n)}=1$ per ogni $a \in U$.
Se quello che ho appena scritto ti sembra arabo, dimenticalo senza problemi
Martino, se questo ragazzo avesse conosciuto i gruppi e gli anelli sicuramente avrebbe saputo che ogni elemento di $ZZ//nZZ$ elevato all'ordine del gruppo fa 1: è la conseguenza più ovvia e sicuramente la più conosciuta della teoria dei gruppi. Se uno sa cosa sono i sottogruppi e le classi laterali il teorema di Eulero-Fermat è la più grossa banalità che esista (come dire che l'integrale di 1 fa x dopo aver studiato gli integrali) , ma se questo ragazzo ha postato questo topic evidentemente è perchè non consce i gruppi e gli anelli ed è per questo motivo che io ho provato a spiegarglielo nella maniera più elementare possibile...
"fransis2":
[quote="Martino"]Ciao valy,
se conosci un po' i gruppi e gli anelli c'è una dimostrazione davvero immediata. Prendi l'anello $A=ZZ//nZZ$. Allora un intero è coprimo con $n$ se e solo se la sua classe in $A$ è invertibile (questo fatto segue dall'algoritmo di Euclide). Quindi il gruppo $U$ degli elementi invertibili di $A$ ha ordine $\varphi(n)$. Poiché $U$ è un gruppo moltiplicativo finito, ogni suo elemento elevato all'ordine di $U$ fa 1, in altre parole $a^{\varphi(n)}=1$ per ogni $a \in U$.
Se quello che ho appena scritto ti sembra arabo, dimenticalo senza problemi
Martino, se questo ragazzo avesse conosciuto i gruppi e gli anelli sicuramente avrebbe saputo che ogni elemento di $ZZ//nZZ$ elevato all'ordine del gruppo fa 1: è la conseguenza più ovvia e sicuramente la più conosciuta della teoria dei gruppi. Se uno sa cosa sono i sottogruppi e le classi laterali il teorema di Eulero-Fermat è la più grossa banalità che esista (come dire che l'integrale di 1 fa x dopo aver studiato gli integrali) , ma se questo ragazzo ha postato questo topic evidentemente è perchè non consce i gruppi e gli anelli ed è per questo motivo che io ho provato a spiegarglielo nella maniera più elementare possibile...[/quote]
Ok, ma perché escludere la possibilità che valy conosca i gruppi? La dimostrazione del teorema da lei enunciato non mi sembra seguire immediatamente dalla definizione di gruppo.
Dal tuo tono sembri offeso per quello che ho scritto.. ma mi pare di aver ben specificato "se conosci un po' i gruppi e gli anelli", quindi non mi pare di averti fatto niente di grave. Non è che ho scritto "ecco qui una dimostrazione brevissima e geniale e quindi certamente migliore di quella di fransis2".
"Martino":
Ok, ma perché escludere la possibilità che valy conosca i gruppi? La dimostrazione del teorema da lei enunciato non mi sembra seguire immediatamente dalla definizione di gruppo
certamente non segue immediatamente dalla definizione di gruppo ma segue immediatamente dalla trattazione dei sottogruppi e dalle classi laterali: é ovvio che un elemento $x$ di un gruppo elevato alla cardinalità di $
"Martino":
Dal tuo tono sembri offeso per quello che ho scritto.. ma mi pare di aver ben specificato "se conosci un po' i gruppi e gli anelli", quindi non mi pare di averti fatto niente di grave. Non è che ho scritto "ecco qui una dimostrazione brevissima e geniale e quindi certamente migliore di quella di fransis2".
se posso essere sincero non mi sono offeso affatto perchè ritenessi che la tua dimostrazione è migliore della mia. Non me ne frega niente. Ciò che mi ha un pò infastidito è invece l'impressione di sveltoneria che mi hai dato nel modo in con cui hai postato: usi terminologie e concetti che se conoscesse (non può farlo conoscendo solo la definizione di gruppo e di anello) allora di fatto avrebbe studiato anche tale teorema ( o le risulterebbe una banale conseguenza)... e l'aria di sveltoneria me l'ha confermata soprattutto il commento finale:
"Martino":
Se quello che ho appena scritto ti sembra arabo, dimenticalo senza problemi
e soprattutto lo
se però l'intenzione di sveltoneria non c'era sono io a chiedere scusa.
Beh, non è così evidente l'implicazione "conosco una cosa quindi la so applicare". Io mi sono meravigliato molto quando ho visto come la teoria dei gruppi e degli anelli potesse aiutare a dimostrare questo teorema, ed è stato un bel po' di tempo dopo aver conosciuto la definizione di gruppo (spesso non si ha il coraggio di applicare una teoria ad un particolare problema, perché non si ha - o non si crede di avere - dimestichezza con la teoria). Ma parlo per me, non so come funzioni il cervello altrui, posso solo immaginarlo.
Posso dedurre che il motivo per cui ti sei infastidito è il fatto che la mia dimostrazione possa esserti sembrata della serie "guarda come sono figo" (dico questo perché tu parli di sveltoneria e io non so dare un significato a questa parola, quindi posso solo interpretare). Beh, io non volevo né ho mai voluto fare il figo. Mi spiace se questa è l'impressione che ho suscitato. Volevo proporre una soluzione alternativa, che poteva rimanere impressa a valy nel caso in cui lei (dico "lei" perché mi pare di ricordare che valy sia una ragazza, ma potrei sbagliarmi, in tal caso scusa valy) non conoscesse direttamente l'argomento ma qualcuno le avesse già parlato di gruppi e anelli, così da poter dare un senso al loro eventuale studio in futuro, o anche semplicemente addirittura (come ho accennato sopra) per farle notare che esiste una dimostrazione molto semplice e comprensibile nel caso in cui lei conosca i gruppi e gli anelli ma non abbia magari mai avuto il coraggio di applicarne le proprietà. Non mi sentivo di escludere tutte queste possibilità.
Quanto alla faccina, l'ho messa per stemperare l'ambiente, per rilassare il fatto che la mia dimostrazione potesse esserle risultata incomprensibile. Non l'ho messa per nessun altro motivo. Forse se mettevo
era meglio?
Io continuo a non capire comunque perché sei infastidito, in tutta questa mia analisi non trovo un motivo valido. E non so nemmeno perché devo giustificare quello che scrivo, soprattutto quando mi sembra totalmente innocente e nella mia testa provocato da buoni propositi.
Posso dedurre che il motivo per cui ti sei infastidito è il fatto che la mia dimostrazione possa esserti sembrata della serie "guarda come sono figo" (dico questo perché tu parli di sveltoneria e io non so dare un significato a questa parola, quindi posso solo interpretare). Beh, io non volevo né ho mai voluto fare il figo. Mi spiace se questa è l'impressione che ho suscitato. Volevo proporre una soluzione alternativa, che poteva rimanere impressa a valy nel caso in cui lei (dico "lei" perché mi pare di ricordare che valy sia una ragazza, ma potrei sbagliarmi, in tal caso scusa valy) non conoscesse direttamente l'argomento ma qualcuno le avesse già parlato di gruppi e anelli, così da poter dare un senso al loro eventuale studio in futuro, o anche semplicemente addirittura (come ho accennato sopra) per farle notare che esiste una dimostrazione molto semplice e comprensibile nel caso in cui lei conosca i gruppi e gli anelli ma non abbia magari mai avuto il coraggio di applicarne le proprietà. Non mi sentivo di escludere tutte queste possibilità.
Quanto alla faccina, l'ho messa per stemperare l'ambiente, per rilassare il fatto che la mia dimostrazione potesse esserle risultata incomprensibile. Non l'ho messa per nessun altro motivo. Forse se mettevo
era meglio?Io continuo a non capire comunque perché sei infastidito, in tutta questa mia analisi non trovo un motivo valido. E non so nemmeno perché devo giustificare quello che scrivo, soprattutto quando mi sembra totalmente innocente e nella mia testa provocato da buoni propositi.
"Martino":
Posso dedurre che il motivo per cui ti sei infastidito è il fatto che la mia dimostrazione possa esserti sembrata della serie "guarda come sono figo" (dico questo perché tu parli di sveltoneria e io non so dare un significato a questa parola, quindi posso solo interpretare).
si: "gurda quanto sono figo" è esattamente l'impressione che mi avevi dato per 3 motivi:
1) parlavi in termini tecnici di teoria dei gruppi ad una persona che mi dava l'impressione di non aver mai studiato questi argomenti;
2) sviluppavi concetti che non possono essere noti a persone che sanno SOLO la definizione di gruppo e anello (come il fatto che un elemento elevato alla cardinalità del gruppo fa l'elemento neutro del gruppo da cui MI SEMBRAVA un immediato corollario il suddetto teorema);
3) la frase finale mi dava proprio l'impressione di uno che voleva fare il figo di fronte ad una persona che non era esperta in materia.
Quindi in conclusione il mio primo intervento era come un modo per dire: "senti è ovvio che valy non ha conoscenze approfondite di algebra, dobbiamo spiegreglielo in termini semplici ed è inutile che fai il figo"
il punto 2) mi sembra un punto cruciale del discorso perchè senza sapere che un elemento elevato alla cardinalità del gruppo faccia l'elemento neutro del gruppo (cosa che normalmente penso non si possa sapere senza seguire un corso di algebra) nessuna persona conoscendo solo la definizione di gruppo e anello avrebbe potuto capire la tua dimostrazione. Quindi se tu hai pensato che valy potesse conoscere solo le prime definizioni di gruppi e anelli SENZA sapere altro di algebra allora o nella tua dimostrazione -forse per dimenticanza- hai dato dei concetti per scontato oppure volevi fare il figo. Può darsi però che tu ritenessi che valy conoscesse più approfondiatamente questi argomenti conoscendo almeno la parte sui sottogruppi e le classi laterali da cui segue che un elemento elevato alla cardinalità del gruppo fa l'elemento neutro del gruppo. Ora applicare questa proprietà al gruppo moltiplicativo $ZZ//nZZ$ a me sembrava una cosa scontata (ed è per questo che ho ritenuto che valy non conoscesse, se non cose basilari, unpò di nozioni sui gruppi e per questo la mia dimostrazione è stata molto elementare ) . Tra l'altro (almeno nel mio caso) questa applicazione è il primo esempio che viene fatto subito dopo che uno conosce le classi laterali la cui ignoranza come ho detto prima comporta -secondo me- l'impossibilità di comprensione della dimostrazione che hai dato tu, impossibilità che è il punto cruciale del nostro discorso. Tuttavia puòdarsi che a questa applicazione non tutti ci pensano in modo immediato e forse a me sembra immediato proprio perchè mi è stata presentata subito. Quindi io posso credere che tu sia in buona fede a patto che:
caso A) 1) nel momento in cui hai scritto la dimostrazione pensavi che c'era la possibilità che valy conoscesse un pò di algebra... e non mi riferisco soloalla definizione di gruppo e di anello ma alla relazione che intercorre tra cardinalità dei gruppi e loro sottogruppi (altrimenti dovrai spiegarmi come avrebbe fatto a capire che un elemento elevato alla cardinalità del gruppo fa l'elemento neutro del gruppo;
2) il commento finale erviva a sdrammatizzare il caso del tutto plausibile in cui queste conoscenze non le avesse;
3) non davi per scontato di applicare la proprietà in rosso che invece io davo per scontato (e questa non è per niente una cirtica, anzi...forse sono io in questo caso che dovrei dare meno per scontato alcune cose).
caso B)oppure pur pensando che valy conoscesse solo le definizioni di gruppo e di anello non ti sei posto per dimenticanza il problema che alcuni passaggi che sviluppi una persona profana dell'argomento non li può comprendere.
Comunque dagli ultimi messaggi che hai postato mi sembravi in buona fede e voglio crederti e pensare che devi esserti trovatoin 1 dei 2 casi sopra citati , quindi se le accetti ti porgo le mie scuse per averti accusato di essere "figo" (cìè a chi piacerebbe essere accusati di ciò
) e se vuoi è pace fatta 
P.S: valy, si dal nome avrei dovuto capire che eri una ragazza ma non sono stato troppo a rifletterci: scusa anche a te
Certo, pace fatta. Non ho nessun rancore nei tuoi confronti, ho solo paura che tu ne abbia nei miei
Comunque per risponderti, io ho scritto quella dimostrazione prevedendo due casi:
Caso 1. Valy non sa nulla di gruppi e anelli e non ne ha mai sentito parlare. In tal caso queste nozioni la potrebbero incuriosire, se non altro perché come dimostra la brevità della dimostrazione che ho riportato si tratta di nozioni molto utili.
Caso 2. Valy conosce almeno la definizione di gruppo e di anello. In tal caso alcuni concetti che richiamo nella mia dimostrazione - come per esempio quello da te evidenziato in rosso nel tuo ultimo post - se non da lei già conosciuti la possono interessare, incuriosire, e di conseguenza può approfondire l'argomento.
In verità ritenevo difficile che Valy capisse al volo la mia dimostrazione. Ma il fatto che lei non la capisse è quello che prevedevo (e in questo non nego assolutamente che la mia dimostrazione è provocatoria), immaginando che lei non avesse una gran dimestichezza coi concetti di gruppo e anello: è molto utile "sbattere la testa" sulle cose senza capirle, perché ciò serve da stimolo per migliorare. E' una sorta di "logica impatto". Di solito è quello che faccio sempre in questo forum: se qualcuno domanda qualcosa e io conosco una risposta che ho voglia di scrivere, la scrivo nel modo più conciso possibile. Se lui/lei mi chiede di spiegarmi meglio, la riscrivo in modo più esteso. Questo perché sinceramente io non ho la minima idea della preparazione teorica di chi domanda (non me la sento di dedurla dalla domanda), quindi mi dispiace scrivere una lunghissima dimostrazione con ogni dettaglio se ciò non è necessario.
Saluti.
Comunque per risponderti, io ho scritto quella dimostrazione prevedendo due casi:
Caso 1. Valy non sa nulla di gruppi e anelli e non ne ha mai sentito parlare. In tal caso queste nozioni la potrebbero incuriosire, se non altro perché come dimostra la brevità della dimostrazione che ho riportato si tratta di nozioni molto utili.
Caso 2. Valy conosce almeno la definizione di gruppo e di anello. In tal caso alcuni concetti che richiamo nella mia dimostrazione - come per esempio quello da te evidenziato in rosso nel tuo ultimo post - se non da lei già conosciuti la possono interessare, incuriosire, e di conseguenza può approfondire l'argomento.
In verità ritenevo difficile che Valy capisse al volo la mia dimostrazione. Ma il fatto che lei non la capisse è quello che prevedevo (e in questo non nego assolutamente che la mia dimostrazione è provocatoria), immaginando che lei non avesse una gran dimestichezza coi concetti di gruppo e anello: è molto utile "sbattere la testa" sulle cose senza capirle, perché ciò serve da stimolo per migliorare. E' una sorta di "logica impatto". Di solito è quello che faccio sempre in questo forum: se qualcuno domanda qualcosa e io conosco una risposta che ho voglia di scrivere, la scrivo nel modo più conciso possibile. Se lui/lei mi chiede di spiegarmi meglio, la riscrivo in modo più esteso. Questo perché sinceramente io non ho la minima idea della preparazione teorica di chi domanda (non me la sento di dedurla dalla domanda), quindi mi dispiace scrivere una lunghissima dimostrazione con ogni dettaglio se ciò non è necessario.
Saluti.
Mi sono ricordato perché valy mi era familiare. Per via di questo:
https://www.matematicamente.it/forum/hel ... ht=#213081
Nel su citato post valy chiede cosa sia un laterale destro e specifica che l'ambito è la teoria dei gruppi. Quindi ora sappiamo che valy conosce i gruppi.
Ci tengo a rimarcare che nel post in questione la mia risposta concisa piena di nozioni ha come obiettivo il collegare la nozione di laterale destro con concetti che ne dimostrino l'utilità.
NB: c'è un altro mio post alla fine della pagina 1.
https://www.matematicamente.it/forum/hel ... ht=#213081
Nel su citato post valy chiede cosa sia un laterale destro e specifica che l'ambito è la teoria dei gruppi. Quindi ora sappiamo che valy conosce i gruppi.
Ci tengo a rimarcare che nel post in questione la mia risposta concisa piena di nozioni ha come obiettivo il collegare la nozione di laterale destro con concetti che ne dimostrino l'utilità.
NB: c'è un altro mio post alla fine della pagina 1.
Purtroppo ancora non conosco gli anelli..
"Martino":
Certo, pace fatta. Non ho nessun rancore nei tuoi confronti, ho solo paura che tu ne abbia nei miei
no tranquillo nessun rancore
Cmq volevo dirvi che ho chiesto ad un mio amico di questa dimostrazione e lui mi ha detto che forse mi potrebbe aiutare tantissimo applicare il Piccolo teorema di Fermat (Se p è primo ,allora per ogni a appartenetnte ai razionali a^p=a (in modulo p))...sinceramente non so bene come applicarla..se mi potreste dare una mano ne sarei grata altrimenti grazie lo stesso per il vostro interesse!
"valy":
Cmq volevo dirvi che ho chiesto ad un mio amico di questa dimostrazione e lui mi ha detto che forse mi potrebbe aiutare tantissimo applicare il Piccolo teorema di Fermat (Se p è primo ,allora per ogni a appartenetnte ai razionali a^p=a (in modulo p))...sinceramente non so bene come applicarla..se mi potreste dare una mano ne sarei grata altrimenti grazie lo stesso per il vostro interesse!
Il piccolo teorema di fermat è già stato citato in precedenza, anche se non con lo stesso nome.
Cioé il fatto che $x^(ord(G)) = e$ per ogni $x in G$ è il piccolo teorema di fermat applicato ai gruppi. Detto in altri modi equivale a dire che l'ordine di ogni elemento di $G$ divide l'ordine di $G$.
Le classi di resto con le operazioni di somma e prodotto hanno la struttura di anello commutativo con unità (sono campi nel caso p sia primo). Questo significa che hanno la struttura di gruppo abeliano con l'operazione di somma (il gruppo ciclico $ZZ//nZZ$), esiste l'1 (elemento neutro della moltiplicazione), la moltiplicazione è commutativa e associativa e infine vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Il campo ha anche la caratteristica di avere il gruppo degli elementi invertibili (esiste l'inverso multiplicativo) uguale a $A\\{0}$.
In ogni anello l'insieme degli elementi invertibili ha la struttura di gruppo con l'operazione di prodotto.
La dimostrazione è abbastanza evidente: se chiamiamo $A^x subset A$ questo insieme se prendiamo $s, t in A^(x)$ allora $st in A^x$ perché ha inverso multiplicativo $(st)^(-1) = t^(-1)s^(-1)$. Questo basta perché sappiamo che il prodotto ha un elemento neutro (altrimenti non ha senso parlare di inverso), che questo è invertibile e che il prodotto è associativo.
Ora basta dimostrare che in $ZZ//nZZ$ gli elementi invertibili sono gli elementi coprimi con $n$ (infatti l'ordine dell'insieme degli elementi coprimi con $n$ è per definizione $varphi(n)$).
Ciò che dobbiamo provare è quindi che dato un elemento $s$ coprimo con $n$ abbiamo che esiste un $t$ ancora coprimo con $n$ tale che $st = 1$ (moltiplicazione in $ZZ//nZZ$). Per farlo basta considerare l'ugualianza in $ZZ//nZZ$ tra il concetto di multiplo di un elemento e quello di prodotto per un determinato elemento. Quindi dato che $
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