Algebra

[clabj85]

ciao
vorrei sapere se esiste (e quale è) un isomorfismo tra $Q(sqrt(2))$ e $Q(sqrt(3))$ o se nn esiste perchè.
grazie in anticipo

[Studente Anonimo]

Ciao.

Intendi un isomorfismo di campi o di $QQ$-spazi vettoriali?

[clabj85]

di campi

[mickey88]

Ciao!
io direi che esiste assolutamente:
ogni elemento di $Q(sqrt2)$ è nella forma $a+bsqrt2$ con $a$ e $b$ razionali, stessa cosa per $Q(sqrt3)$.
Un isomorfismo potrebbe essere quello che a ogni $z=a+bsqrt2$ associa esattamente $a+bsqrt3$
mi pare che così le cose funzionino, se sto prendendo una cantonata (cosa tutt'altro che improbabile) ditemelo
ciao

[Studente Anonimo]

Non esiste. Supponi per assurdo che esista, sia esso $f:QQ(sqrt{2}) to QQ(sqrt{3})$. Innanzitutto osserva che $f(a)=a$ per ogni $a in QQ$, e ciò segue facilmente dal fatto che $f(0)=0$ e $f(1)=1$. Quindi $f(sqrt{2})^2=f(2)=2$. Quindi detto $alpha = f(sqrt{2}) in QQ(sqrt{3})$, $alpha$ ha la proprietà che $alpha^2=2$. Ma $alpha in QQ(sqrt{3})$, quindi $alpha$ è della forma $a+b sqrt{3}$ con $a,b in QQ$. Da $(a+b sqrt{3})^2=2$ segue $a^2+3b^2+2ab sqrt{3} = 2$, ovvero $ab=0$ e $a^2+3b^2=2$ con $a,b in QQ$. E' facile verificare che questo è impossibile.

Per contro $QQ(sqrt{2})$ e $QQ(sqrt{3})$ sono isomorfi come $QQ$-spazi vettoriali, in quanto entrambi hanno dimensione due.

[clabj85]

ci ho provato ma nn va bene infatti nn è un omomorfismo perchè $f((sqrt(2))*(sqrt(2)))=f(2)=2$ mentre $f(sqrt(2))*f(sqrt(2))=sqrt(3)*sqrt(3)=3$

[clabj85]

grazie martino

[mickey88]

quello che ho proposto io era un isomorfismo tra spazi vettoriali?
o neppure?

[Studente Anonimo]

"mickey88":quello che ho proposto io era un isomorfismo tra spazi vettoriali?
o neppure?

Sì, lo era.

[mickey88]

ok grazie mille
scusate la mia confusione
ciao