Algebra

[rico]

Ciao,
come posso dimostrare che $(A^(-1))^T=(A^T)^(-1)$

grazie ciao

[_Tipper]

Provo, se è sbagliato correggetemi

$(A_{i,j}^{-1})^T = A_{j,i}^{-1} = (A_{j,i})^{-1} = (A_{i,j}^T)^{-1}$

[rico]

io nn ho la soluzione quindi aspetto conferma...

[rico]

io nn ho la soluzione quindi aspetto conferma...cmq grazie

[_Tipper]

Cercando in rete ho trovato questa dimostrazione (sicuramente giusta, in quanto non scritta da me ):

$(A^T) (A^{-1})^T = (A^{-1} A)^T$ perché $(AB)^T = B^T A^T$

$=(A^{-1}A)^T = I^T = I$

Quindi $A^T (A^{-1})^T = I$, di conseguenza $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$

[rico]

ancora grazie

[_Tipper]

Ancora prego

[rico]

ancora una cosa...vettori linearmente indipendenti sono ortonormali?e ortogonali?mi servirebbe anche la dimostrazione...
grazie

[Camillo]

"richard84":ancora una cosa...vettori linearmente indipendenti sono ortonormali?e ortogonali?mi servirebbe anche la dimostrazione...
grazie

No, non lo sono , casomai è vero il viceversa .

[rico]

come si dimostra?

[rico]

nessuno sa dirmi niente sulla dimostrazione?

[erasmo1]

allora supponi che i vettori $v_1, ..., v_n$ siano non nulli e a due a due ortogonali

quindi $(v_i, v_j) \ne 0$ se e solo se $i = j$ (con $(v_i, v_j)$ denoto il prodotto scalare di $v_i$ e $v_j$)

si abbia $\sum_j \alpha_j v_j = 0$; allora per ogni $i$ si ha anche, tenendo conto della
bilinearita' del prodotto scalare,
$0 = (v_i, \sum_j \alpha_j v_j) = \sum_j \alpha_j (v_i, v_j) = \alpha_i (v_i, v_i)$, da cui $\alpha_i = 0$ per ogni $i$, e quindi i vettori $v_1, ..., v_n$ sono linearm. indipendenti