[Algebra 2] Ex. Proposta di soluzione

[dan952]

Esercizio. Dimostrare che se $\alpha$ è un elemento algebrico di grado dispari $d$ su un campo $F$ allora $F(\alpha)=F(\alpha^2)$.

Dim.(proposta) Consideriamo il caso non banale $d>1$, certamente $\alpha^2 \in F(\alpha)$, dunque $F(\alpha) supe F(\alpha^2) sup F$, ovvero $[F(\alpha^2) : F] \leq d$ e $[F(\alpha^2) : F] | d$, tuttavia se $[F(\alpha^2) : F]
Siete d'accordo?

[Pappappero1]

Non seguo molto bene il tuo ragionamento. Ti suggerisco di provare a dire qualcosa su \( [F[\alpha] : F[\alpha^2] ] \).

[dan952]

Ho omesso un pò di passaggi, ad esempio posso dire che $[F(\alpha^2):F] |d$ proprio perché vale $$d=[F(\alpha):F]=[F(\alpha):F(\alpha^2)]\cdot[F(\alpha^2):F]\ (*)$$ inoltre abbiamo visto che $[F(\alpha^2):F]>d/2$ dunque per la (*) si ha $d=[F(\alpha):F]>[F(\alpha):F(\alpha^2)] \cdot d/2$ da cui la tesi.

[Stickelberger]

Poiche’ $F\subset F(\alpha^2)\subset F(\alpha)$, il grado $e=[F(\alpha):F(\alpha^2)]$ divide $d$ ed e’ quindi dispari.
D’altraparte, il fatto che $\alpha$ e’ uno zero di $X^2-\alpha^2$ implica che $e\le 2$. Conclusione: $e=1$.

[dan952]

Sì così è più veloce effettivamente...