[Algebra 2] Ex. Dimostrazione

[dan952]

Esercizio. Dimostrare che tutti e soli i polinomi irriducibili su $ZZ_p[x]$ di grado uguale ad un divisore di $n$ sono fattori irriducibili del polinomio $x^{p^n}-x$.
Lemma. Sia $d|n$ allora $x^{p^d}-x | x^{p^n}-x$.
dim. Poniamo $n=kd$. Basta far vedere (credo) che se $\alpha$ è una radice di $x^{p^d}-x$ allora lo è anche per $x^{p^{kd}}-x$, infatti sia $K$ il campo di spezzamento di $x^{p^d}-x$, basta applicare l'automorfismo di Frobenius $\phi: K \mapsto K$ k volte ad $\alpha$:
$$\alpha=\alpha^{p^d}=\cdots=\alpha^{p^{kd}}$$
dunque $\alpha^{p^{kd}}-\alpha=0$.
dim.(proposta) Sia $p(x)$ un polinomio irriducibile di grado $d|n$, consideriamo il campo di spezzamento $ZZ_p[x] // (p(x)) ~= ZZ_p(\alpha)$ del polinomio $p(x)$ e chiaramente ogni elemento di quell'estensione annulla $x^{p^d}-x$, quindi per il lemma il campo di spezzamento di $x^{p^n}-x$ contiene radici che annullano $p(x)$ e dunque $p(x)|x^{p^n}-x$.

[Studente Anonimo]

Il lemma (dopo aver diviso per $x$) è semplicemente il fatto che $X-1$ divide $X^m-1$ (che è ovvio) dove però $X = x^{p^d-1}$ e $m = (p^n-1)/(p^d-1)$. $m$ è intero perché $p^d-1$ divide $p^n-1$ (sempre perché $X-1$ divide $X^m-1$ dove stavolta $X=p^d$ e $m=n/d$).

Poi tu hai dimostrato che ogni $p(x)$ come dici divide $x^{p^n}-x$ ma ti manca da mostrare che tutti i divisori irriducibili di $x^{p^n}-x$ compaiono solo una volta e hanno tutti grado un divisore di $n$.

[dan952]

I termini compaiono una volta perché $x^{p^n}-x$ è separabile.
In realtà non riuscivo a capire quale fosse il viceversa (che vergogna!) ecco perché non l'ho dimostrato. Penso si possa procedere così:
Sia $p(x)$ un fattore irriducibile di $x^{p^n}-x$ di grado $m>1$, supponiamo p.a. che $m$ non divide $n$, consideriamo dunque il campo di spezzamento $ZZ_p[x] // (p(x))$ di $p(x)$ e quindi di $x^{p^m}-x$ questo contiene radici che annullano sia di $x^{p^n}-x$ che di $x^{p^m}-x$, assurdo (poiché risulterebbe che l'ordine di questa radice nel gruppo moltiplicativo del campo è $p-1$ e dunque annulla un polinomio di grado 1 in $ZZ_p$ ).

[Studente Anonimo]

Gruppo moltiplicativo di quale campo?

Detto $K$ l'insieme di tutte le radici di $x^{p^n}-x$ e $L=\mathbb{F_p}[a]$ dove $a$ è zero di $p(x)$, osserva che $L$ è un sottocampo di $K$ e che quindi puoi applicare la formula dei gradi.

[dan952]

Seguendo la tua strada ho praticamente concluso perché $ZZ_p \sub_{m} L \sub K$ essendo $ZZ_p \sub_{n} K$ allora $m|n$ assurdo.

Il gruppo moltiplicativo è del campo di spezzamento di $p(x)$. Seguendo la mia strada si arriva a dire che sia $\alpha$ uno zero di $p(x)$ allora $\alpha^{p^n-1}=\alpha^{p^m-1}=1$ cioè l'ordine di $\alpha$ è multiplo del $(p^n-1,p^m-1)$ nonché un divisore di $p^{n-m}-1$ e quindi $\alpha$ risulta essere una radice di $x^{p^{n-m}}-x$, l'idea era quella di procedere per ricorsione mettendo $m$ al posto $n$ e $n-m$ al posto di $m$ fino ad $n-km

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