Algebra 2 a bari
buondì!
per evitare di aprire 10mila topic, ne apro uno comulativo per tutti i dubbi.
come prima cosa... ditemi che non sono impazzita!!!!!
consideriamo $G=U(Z_104)$. la funzione di eulero vuole che abbia 48 elementi... perchè io ne ho trovati solo 35????
li elenco:
1 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 25 - 29 - 31 - 35 - 37 - 41 - 43 - 47 - 49 - 53 - 55 - 59 - 61 - 65 - 67 - 71 - 73 - 77 - 79 - 83 - 85 - 89 - 91 - 95 - 97 - 101 - 103
ignorerei tale problema se non fosse che devo trovare la scomposizione di G in sottogruppi ciclici e con questi soli elementi ho 5 di periodo 4 e 7 di periodo 13
è evidente che qualcosa non va!
non capisco dove ho sbagliato e quali elementi manchino....
grazie a tutti!!!!
per evitare di aprire 10mila topic, ne apro uno comulativo per tutti i dubbi.
come prima cosa... ditemi che non sono impazzita!!!!!
consideriamo $G=U(Z_104)$. la funzione di eulero vuole che abbia 48 elementi... perchè io ne ho trovati solo 35????
li elenco:
1 - 5 - 7 - 11 - 13 - 17 - 19 - 23 - 25 - 29 - 31 - 35 - 37 - 41 - 43 - 47 - 49 - 53 - 55 - 59 - 61 - 65 - 67 - 71 - 73 - 77 - 79 - 83 - 85 - 89 - 91 - 95 - 97 - 101 - 103
ignorerei tale problema se non fosse che devo trovare la scomposizione di G in sottogruppi ciclici e con questi soli elementi ho 5 di periodo 4 e 7 di periodo 13
è evidente che qualcosa non va!
non capisco dove ho sbagliato e quali elementi manchino....
grazie a tutti!!!!
Risposte
continuo a postare altri problemi: li ho quasi totalmente risolti quindi mi servono più che altro i risultati dato che non li ho
man mano postero i miei
n2: traccia
Si consideri, nell'anello $Z[x]$ l'ideale $I=(x^5+x^4-x^3-1,x^4+4^2+1,3)$
1. stabilire se l'ideale I è primo oppure massimale in A
(io ho trovato che non è neanche primo)
2. verificare che $A/I$ è un anello finito e determinare il numero dei suoi elementi
(io ho trovato che ne ha 27)
3. calcolare gli elementi nilpotenti di A/I
(uno solo??)
4. stabilire se l'elemento $(x^2-x-1)+I$ è invertibile in $A/I$ ed in tal caso calcolarne l'inverso
(e invertibile e non trovo l'inverso)
piccolo quesito a riguardo...
con un po' di calcoli si nota che in tal caso il MCD è 1, serve a qualcosa?????
e se invece di essere in $Z[x]$ fossi in $F[x]$ con F campo, cambierebbe nulla???
grazie
n3: traccia
analogo al precedente ma ora l'ideale è $I=(3,x^5+x^4-x^2-1,x^5+x^3-x+1)$
1. stabilire se l'anello $A/I$ è un dominio
2. verificare se gli ideali di A sono principali
3. calcolare gli elementi nilpotenti di A
4. stabilire se l'elemento $x+I$ è invertibile in A ed in tal caso calcolarne l'inverso
5. determinare se l'elemento $(x^2+x-1)+I$ è un divisore dello zero di A ed in tal caso calcolare un elemento $h+IinA$ tale che $(g+I)(h+I)=0$
n4: traccia
posto $F=Z_3$, si consideri il gruppo di matrici $G={AinUT_2(F)|det(A)=1}$ dotato della sua azione naturale (prodotto righe per colonne) sullo spazio $F^2$. Si considerino inoltre i vettori (colonna) di $F^2$
$x_0=[1 ; 0]$ e $y_0=[0 ; 0]$
1. calcolare le orbite $X=Gx_0$ e $Y=Gy_0$
2. costruire una mappa G-equivariante surgettiva $phi->X->Y$
3. classificare il gruppo G a meno di isomorfismi
man mano postero i miei
n2: traccia
Si consideri, nell'anello $Z[x]$ l'ideale $I=(x^5+x^4-x^3-1,x^4+4^2+1,3)$
1. stabilire se l'ideale I è primo oppure massimale in A
(io ho trovato che non è neanche primo)
2. verificare che $A/I$ è un anello finito e determinare il numero dei suoi elementi
(io ho trovato che ne ha 27)
3. calcolare gli elementi nilpotenti di A/I
(uno solo??)
4. stabilire se l'elemento $(x^2-x-1)+I$ è invertibile in $A/I$ ed in tal caso calcolarne l'inverso
(e invertibile e non trovo l'inverso)
piccolo quesito a riguardo...
con un po' di calcoli si nota che in tal caso il MCD è 1, serve a qualcosa?????
e se invece di essere in $Z[x]$ fossi in $F[x]$ con F campo, cambierebbe nulla???
grazie
n3: traccia
analogo al precedente ma ora l'ideale è $I=(3,x^5+x^4-x^2-1,x^5+x^3-x+1)$
1. stabilire se l'anello $A/I$ è un dominio
2. verificare se gli ideali di A sono principali
3. calcolare gli elementi nilpotenti di A
4. stabilire se l'elemento $x+I$ è invertibile in A ed in tal caso calcolarne l'inverso
5. determinare se l'elemento $(x^2+x-1)+I$ è un divisore dello zero di A ed in tal caso calcolare un elemento $h+IinA$ tale che $(g+I)(h+I)=0$
n4: traccia
posto $F=Z_3$, si consideri il gruppo di matrici $G={AinUT_2(F)|det(A)=1}$ dotato della sua azione naturale (prodotto righe per colonne) sullo spazio $F^2$. Si considerino inoltre i vettori (colonna) di $F^2$
$x_0=[1 ; 0]$ e $y_0=[0 ; 0]$
1. calcolare le orbite $X=Gx_0$ e $Y=Gy_0$
2. costruire una mappa G-equivariante surgettiva $phi->X->Y$
3. classificare il gruppo G a meno di isomorfismi
$\phi(8)=4, \phi(13)=12 \Rightarrow \phi(8*13)=48$.
Nel tuo elenco mancano un bel po' di multipli di 3.
Nel tuo elenco mancano un bel po' di multipli di 3.
pic:
$\phi(8)=4, \phi(13)=12 \Rightarrow \phi(8*13)=48$.
Nel tuo elenco mancano un bel po' di multipli di 3.
azzz... nel pensare alla cardinalità di $U(Z_104)$ me so persa la cardinalità di $Z_104$ e ho tolto anche quelli!!!!!
ah la vecchiaia!
grazie!!!!!!!!!!!
n5: traccia
Si considerino gli ideali $I=(34)$ e $J=(8-15i)$ nell'anello $Z$
1. descrivere il reticolo degli ideali di $A/I$ specificando quali fra essi sono primi o massimali
(per i massimali è facile e i primi dovrebbero forse essere gli stessi???? che 'gnurant!)
2. stabilire se l'anello $A/(I+J)$ è un dominio
3. verificare se è dao un omomorfismo di anelli (unitari) $A/H->A/(I+J)$ dove $H=(68+17i)$
Si considerino gli ideali $I=(34)$ e $J=(8-15i)$ nell'anello $Z$
1. descrivere il reticolo degli ideali di $A/I$ specificando quali fra essi sono primi o massimali
(per i massimali è facile e i primi dovrebbero forse essere gli stessi???? che 'gnurant!)
2. stabilire se l'anello $A/(I+J)$ è un dominio
3. verificare se è dao un omomorfismo di anelli (unitari) $A/H->A/(I+J)$ dove $H=(68+17i)$
Sirya88:
n2: traccia
Si consideri, nell'anello $Z[x]$ l'ideale $I=(x^5+x^4-x^3-1,x^4+4^2+1,3)$
...
non proseguo nella traccia perchè ci sono già problemi qui. se non ho capito male, la virgola equivale a dire $I=(x^5+x^4-x^3-1)+(x^4+4^2+1)+(3)$
ma $x^5+x^4-x^3-1=(x+1)(x-1)(x^3+x^2+1)$ e $x^4+x^2+1$ mi sembra irriducibile
sempre se non sono io la tonta, quando consideri la somma, basta che prendi il MCD e il gioco è fatto
beh... in tal caso il MCD è 1... che si fa ora?????
un passo avanti l'ho fatto!
invece di considerare $(Z[x])/I$, considero $(Z_3[x])/(x^5+x^4-x^3-1,x^4+4^2+1)$ cui è isomorfo
in tale campo le fattorizzazioni scritte sopra proseguono...
$x^5+x^4-x^3-1=(x+1)(x-1)(x^3+x^2+1)=(x+1)(x+2)^2(x^2+2x+2)$
$x^4+x^2+1=(x+1)^2(x+2)^2$
quindi stiamo parlando dell'anello finito con 27 elementi (ditemi se sbaglio) $(Z_3[x])/((x+1)(x+2)^2)$
ecco il problema:
so che l'elemento $(x^2-x-1)+I$ è invertibile (coprimo con il polinomio che quozienta $Z_3[x]$) ma come trovo l'inverso?????
n6: traccia
Si consideri il polinomio $f=x^4+x^3-1$ di $Z_3[x]$
1. calcolare il campo di spezzamento E di f su $Z_3$ e determinare il numero di elementi di E
2. calcolare tutte le radici di f in E
3. spiegare perchè esiste certamente un sottocampo $KsubsetE$ che ha grado 2 su $Z_3$
non so neanche da dove iniziare...
Si consideri il polinomio $f=x^4+x^3-1$ di $Z_3[x]$
1. calcolare il campo di spezzamento E di f su $Z_3$ e determinare il numero di elementi di E
2. calcolare tutte le radici di f in E
3. spiegare perchè esiste certamente un sottocampo $KsubsetE$ che ha grado 2 su $Z_3$
non so neanche da dove iniziare...
n7: traccia
Si consideri l'ideale $I=(26)$ nell'anello $Z$ degli interi di Gauss. Poniamo $A=(Z)/I$
1. stabilire se l'anello A è un dominio
2. descrivere il reticolo degli ideali di A specificando quali fra essi sono primi o massimali
3. stabilire se è dato un quoziente dell'anello A che è isomorfo all'anello $B=(Z)/((1+i))$
4. costruire un isomorfismo di anelli $B->Z_2$
innanzitutto noto che in $Z$ 26 si fattorizza così:
$26=i(1+i)^2(2-3i)(2+3i)$
quindi A non è un dominio perchè I non è primo
il reticolo sarebbe:
A
$(Z)/((i+1))$ - $(Z)/((2-3i))$ - $(Z)/((2+3i))$
$(Z)/((i+1)^2)$ - $(Z)/((i+1)(2-3i))$ - $(Z)/((i+1)(2+3i))$ - $(Z)/((2-3i)(2+3i))$
${id}$
Si consideri l'ideale $I=(26)$ nell'anello $Z$ degli interi di Gauss. Poniamo $A=(Z)/I$
1. stabilire se l'anello A è un dominio
2. descrivere il reticolo degli ideali di A specificando quali fra essi sono primi o massimali
3. stabilire se è dato un quoziente dell'anello A che è isomorfo all'anello $B=(Z)/((1+i))$
4. costruire un isomorfismo di anelli $B->Z_2$
innanzitutto noto che in $Z$ 26 si fattorizza così:
$26=i(1+i)^2(2-3i)(2+3i)$
quindi A non è un dominio perchè I non è primo
il reticolo sarebbe:
A
$(Z)/((i+1))$ - $(Z)/((2-3i))$ - $(Z)/((2+3i))$
$(Z)/((i+1)^2)$ - $(Z)/((i+1)(2-3i))$ - $(Z)/((i+1)(2+3i))$ - $(Z)/((2-3i)(2+3i))$
${id}$
Sirya88:
n4: traccia
posto $F=Z_3$, si consideri il gruppo di matrici $G={AinUT_2(F)|det(A)=1}$ dotato della sua azione naturale (prodotto righe per colonne) sullo spazio $F^2$. Si considerino inoltre i vettori (colonna) di $F^2$
$x_0=[1 ; 0]$ e $y_0=[0 ; 0]$
1. calcolare le orbite $X=Gx_0$ e $Y=Gy_0$
2. costruire una mappa G-equivariante surgettiva $phi->X->Y$
3. classificare il gruppo G a meno di isomorfismi
io ho trovato che:
il gruppo G ha ordine 6 (quindi isomorfo a $Z_6$ essendo abeliano) infatti si ha:
$G={[1 , alpha ; 0 , 1]|alpha in Z_3}cup{[[2 , alpha ; 0 , 2]]|alpha in Z_3}$
(perdonate l'ignoranza ma non capisco come si scrivano le matrici. ho messo il punto e virgola per separare le righe)
da cui ho dedotto che:
l'orbita di $x_0$ è formata dai due vettori colonna ${[1;0];[2;0]}$ mentre quella di $y_0$ dal solo vettore nullo
da questo risulta immediato che la mappa G-equivariante che richiede sia quella nulla
c'è qualche errore????
Sirya88:
n3: traccia
analogo al precedente ma ora l'ideale è $I=(3,x^5+x^4-x^2-1,x^5+x^3-x+1)$
1. stabilire se l'anello $A/I$ è un dominio
2. verificare se gli ideali di A sono principali
3. calcolare gli elementi nilpotenti di A
4. stabilire se l'elemento $x+I$ è invertibile in A ed in tal caso calcolarne l'inverso
5. determinare se l'elemento $(x^2+x-1)+I$ è un divisore dello zero di A ed in tal caso calcolare un elemento $h+IinA$ tale che $(g+I)(h+I)=0$
allora... inizio dicendo che $A$ è isomorfo a $(Z_3[x])/((f,g))$ dove
$f(x)=x^5+x^4-x^2-1$
$g(x)=x^5+x^3-x+1$
in $Z_3[x]$
(perdonatemi ma non so fare la barretta per indicare "classe di equivalenza")
questi polinomi hanno fattorizzazione in $Z_3[x]$
$f(x)=x^5+x^4-x^2-1=(x-1)(x^4+2x^3+2x^2+x+1)=(x+2)(x^2+x+2)^2$
$g(x)=x^5+x^3-x+1=(x+1)(x^4-x^3+2x^2-2x+1)=(x+1)(x^2+2+2)^2$
quindi in $Z_3[x]$ ho che $(f,g)=(x^4+2x^3+2x^x+1)$ è un ideale non primo da cui (tramite l'isomorfismo) deduco che $A$ non è un dominio
per il punto 2... non so!
per il punto 3 ho che gli elementi nilpotenti in A sono (sempre per l'isomorfismo) quelli che in $Z_3[x]$ sono divisibili per $x^2+x+2$ cioè:
${(x^2+x+2)(ax+b)|a,binZ_3[x]}$
avendo che gli elementi di $(Z_3[x])/((f,g))$ sono i polinomi di grado minore o uguale a 3
quindi in A dovrebbero essere le immagini di questi cioè, gli stessi a coefficienti in Z invece che in $Z_3$ o sbaglio????
per il punto 4 la risposta dovrebbe essere positiva essendo in $Z_3[x]$ $x , x^4+2x^3+2x^2+x+1$ coprimi. per trovare l'inverso ho usato l'identità di Bèzout e trovato il polinomio $(2x^3+x^2+x+2)$
è giusto??????
punto 5
l'elemento dato è uno zero divisore di A infatti
$(x^2+x-1)(x^2+x+2)=(x^4+2x^3+2x^2+x+1)$
per trovarlo ho fatto un sistema derivato dall'ugualiare il prodotto con un generico polinomio di 2 grado (per ottenere il 4) con il generatore dell'ideale
ma posso anche prendere
$(x^2+x-1)(x^2+x-1)$ perchè questo è un elemento nilpotente dal punto c... o sbaglio????
come è evidente ho un po' di incertezze su questo esercizio, qualcuno potrebbe dirmi se sbaglio o no?????
grazie!
n8: traccia
si consideri l'elemento $alpha=sqrt(1+i sqrt3)in C$
1. calcolare il polinomio minimo f di su Q
2. calcolare il campo di spezzamento E di f su Q e la fattorizzazione di f in E[x]
3. calcolare il grado [E] ed una base di E su Q
tra gli esercizi sui campi è il più semplice...
ditemi se procedo male:
$alpha=sqrt(1+i sqrt3) => alpha^2=1+i sqrt3 => alpha^2-1=i sqrt3 => alpha^4-2alpha^2+4=0$
quindi ho il polinomio $f(x)=x^4-2x^2+4$ che in R si fattorizza $(x^2-(1+isqrt3))(x^2-(1-isqrt3))$ da cui deduco ovviamente che f è irriducibile in Q
ora completo la fattorizzazione in C
$f(x)=x^4-2x^2+4=(x^2-(1+isqrt3))(x^2-(1-isqrt3))=(x-sqrt(1+isqrt3))(x+sqrt(1+isqrt3))(x-sqrt(1-isqrt3))(x+sqrt(1-isqrt3))$
quindi ponendo $beta=sqrt(1-isqrt3)$ ho $f(x)=(x-alpha)(x+alpha)(x-beta)(x+beta)$
quindi ho due casi:
$betainQ(alpha)$ quindi il campo di spezzamento di f(x) è proprio $Q(alpha)$
oppure $betanotinQ(alpha)$ quindi il campo di spezzamento di f(x) è $Q(alpha,beta)$
son quasi certa che sia la prima ma non riesco a dimostrarlo...
si consideri l'elemento $alpha=sqrt(1+i sqrt3)in C$
1. calcolare il polinomio minimo f di su Q
2. calcolare il campo di spezzamento E di f su Q e la fattorizzazione di f in E[x]
3. calcolare il grado [E] ed una base di E su Q
tra gli esercizi sui campi è il più semplice...
ditemi se procedo male:
$alpha=sqrt(1+i sqrt3) => alpha^2=1+i sqrt3 => alpha^2-1=i sqrt3 => alpha^4-2alpha^2+4=0$
quindi ho il polinomio $f(x)=x^4-2x^2+4$ che in R si fattorizza $(x^2-(1+isqrt3))(x^2-(1-isqrt3))$ da cui deduco ovviamente che f è irriducibile in Q
ora completo la fattorizzazione in C
$f(x)=x^4-2x^2+4=(x^2-(1+isqrt3))(x^2-(1-isqrt3))=(x-sqrt(1+isqrt3))(x+sqrt(1+isqrt3))(x-sqrt(1-isqrt3))(x+sqrt(1-isqrt3))$
quindi ponendo $beta=sqrt(1-isqrt3)$ ho $f(x)=(x-alpha)(x+alpha)(x-beta)(x+beta)$
quindi ho due casi:
$betainQ(alpha)$ quindi il campo di spezzamento di f(x) è proprio $Q(alpha)$
oppure $betanotinQ(alpha)$ quindi il campo di spezzamento di f(x) è $Q(alpha,beta)$
son quasi certa che sia la prima ma non riesco a dimostrarlo...
proseguendo...
ho provato con la formula dei radicali doppi:
$alpha=sqrt(1+isqrt3)=sqrt(1+sqrt(-3))=sqrt((1+sqrt(1+3))/2)+sqrt((1-sqrt(1+3))/2)=(sqrt3+sqrt(-1))/sqrt2=(sqrt3+i)/sqrt2=i(1-isqrt3)/sqrt2=i(beta^2)/sqrt2$
in alternativa ottengo in modo analogo
$beta=-ialpha^2/sqrt2$
e ora????
dovrei dimostrare che $sqrt2inQ(alpha)$ quindi mi ritrovo a un punto morto...
ho provato con la formula dei radicali doppi:
$alpha=sqrt(1+isqrt3)=sqrt(1+sqrt(-3))=sqrt((1+sqrt(1+3))/2)+sqrt((1-sqrt(1+3))/2)=(sqrt3+sqrt(-1))/sqrt2=(sqrt3+i)/sqrt2=i(1-isqrt3)/sqrt2=i(beta^2)/sqrt2$
in alternativa ottengo in modo analogo
$beta=-ialpha^2/sqrt2$
e ora????
dovrei dimostrare che $sqrt2inQ(alpha)$ quindi mi ritrovo a un punto morto...
Toglimi una curiosità: ma il docente è Onofrio Di Vincenzo?
"ciampax":
Toglimi una curiosità: ma il docente è Onofrio Di Vincenzo?
magari! dubito che avrei tutti sti problemi se avessi lui
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