Alegebra commutativa

[bezout]

Ciao a tutti non riesco a risolvere questi due esercizi:
1)Mostrare che ogni elemento non nullo e non invertibile di un dominio noetheriano è prodotto di elementi iriiducibili.
2)Sia $A$ un anello artiniano e $B$ una $A$-algebra. Se $B$ è un $A$-modulo finitamente generato allora $B$ è un anello noetheriano e $B$ è intero su $A$.
Grazie a tutti in anticipo

[rubik2]

il primo: sia $x_0$ non prodotto di elementi irriducibili allora $x_0=x_1*y_1$ in cui nessuno dei due è invertibile e almeno uno non è prodotto di elementi irriducibili, perchè se entrambi fossero prodotto di elementi irriducibili lo sarebbe anche $x_0$. Poniamo $x_1$ non prodotto di elementi irriducibili allora $x_1=x_2*y_2$ per cui valgono le stesse considerazioni di prima, itero il processo e genero una famiglia di ideali $I_0=(x_0),...,I_n=(x_0,..,x_n)$ tali che $I_0subI_1sub...subI_n sub...$
Siccome il nostro anello è di noether la catena si stabilizzerà: per un certo indice k varrà $I_k=I_(k+1)$ ovvero $x_(k+1)=a_0*x_0+...+a_n*x_n$ essendo $x_0=x_1*y_1=x_2*y_2*y_1$ e così via ottengo $x_0=x_n*"(#)"$ dove $(#)$ indica l'espressione che dovrebbe venire e che non calcolo, la stessa cosa si può fare per tutti gli $i

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