Alcuni problemi sui gruppi simmetrici
Sia $S_n$ il gruppo delle permutazioni di un insieme di $n$ elementi, siano $alpha,betainS_n$. Dimostrare:
1)Se $beta=(x_1x_2...x_k)$ è un k-ciclo, allora $alphabetaalpha^-1=(alpha(x_1)alpha(x_2)...alpha(x_k))$.
2)Se $beta$ è un prodotto di $b$ cicli disgiunti di lunghezze $k_1,k_2,...k_b$ lo stesso vale per $alphabetaalpha^-1$
3)Se $alphabeta$ è un prodotto di $b$ cicli disgiunti di lunghezze $k_1,k_2,...k_b$ lo stesso vale per $betaalpha$
1)Se $beta=(x_1x_2...x_k)$ è un k-ciclo, allora $alphabetaalpha^-1=(alpha(x_1)alpha(x_2)...alpha(x_k))$.
2)Se $beta$ è un prodotto di $b$ cicli disgiunti di lunghezze $k_1,k_2,...k_b$ lo stesso vale per $alphabetaalpha^-1$
3)Se $alphabeta$ è un prodotto di $b$ cicli disgiunti di lunghezze $k_1,k_2,...k_b$ lo stesso vale per $betaalpha$
Risposte
Non ho capito se sono problemi che devi risolvere (violando una parte del regolamento, in particolare il punto 1.4), oppure se sono esercizi che proponi all'utenza! 
Nella fretta di scrivere il messaggio prima di uscire, ho scordato di condirlo con mie considerazioni per renderlo più simpatico.
In realtà non ho concluso molto.
Per quanto riguarda il punto 1) ho osservato che se $alpha$ è un prodotto di cicli tutti disgiunti da $beta$, il risultato è banale infatti $αbetaalpha^(−1)=beta$, e $alpha(x_i)=x_i,AAi$, anche per i punti 2) e 3) se $alpha$ e $beta$ sono disgiunti il risultato è immediato, tuttavia non riesco a trovare una dimostrazione del caso generale.
Per rispondere a j18eos, è sia un problema che devo risolvere sia un problema che propongo all'utenza, perciò non pretendo una soluzione completa, ma qualsiasi idea o spunto è ben accetto. Se il mio messaggio contiene violazioni del regolamento, saranno i moderatori a farmele notare.
In realtà non ho concluso molto.
Per quanto riguarda il punto 1) ho osservato che se $alpha$ è un prodotto di cicli tutti disgiunti da $beta$, il risultato è banale infatti $αbetaalpha^(−1)=beta$, e $alpha(x_i)=x_i,AAi$, anche per i punti 2) e 3) se $alpha$ e $beta$ sono disgiunti il risultato è immediato, tuttavia non riesco a trovare una dimostrazione del caso generale.
Per rispondere a j18eos, è sia un problema che devo risolvere sia un problema che propongo all'utenza, perciò non pretendo una soluzione completa, ma qualsiasi idea o spunto è ben accetto. Se il mio messaggio contiene violazioni del regolamento, saranno i moderatori a farmele notare.
"UmbertoM":L'ho pensato anch'io, ecco perché ti ho risposto in quella maniera!
...Se il mio messaggio contiene violazioni del regolamento, saranno i moderatori a farmele notare.
Ti do un indizio in spoiler:
Eureka, forse ci sono per il punto 1)
Se $alpha$ e $beta$ sono permutazioni (cioè applicazioni biettive) dell'insieme che chiamo $X$ in se stesso, anchee $alpha^-1$ è una permutazione, ed anche la loro composizione lo è. Perciò $EEyinX:betaalpha^-1(y)=x_1=>alphabetaalpha^-1(y)=alpha(x_1)$. Quindi consideriamo il ciclo che ha come primo elemento $alpha(x_1)$, il suo secondo elemento, applicando la permutazione $alphabetaalpha^-1$ è $alpha(x_2)$, il terzo $alpha(x_2)$, iterando il ragionamento il $k-mo$ è $alpha(x_k)$, applicando ancora la permutazione si riottiene $alpha(x_1)$ ed il ciclo è concluso. Naturalmente $x_1!=x_2!=...=!x_k=>alpha(x_1)alpha!=(x_2)!=...!=alpha(x_k)$, poiché si tratta di una permutazione.
Se $alpha$ e $beta$ sono permutazioni (cioè applicazioni biettive) dell'insieme che chiamo $X$ in se stesso, anchee $alpha^-1$ è una permutazione, ed anche la loro composizione lo è. Perciò $EEyinX:betaalpha^-1(y)=x_1=>alphabetaalpha^-1(y)=alpha(x_1)$. Quindi consideriamo il ciclo che ha come primo elemento $alpha(x_1)$, il suo secondo elemento, applicando la permutazione $alphabetaalpha^-1$ è $alpha(x_2)$, il terzo $alpha(x_2)$, iterando il ragionamento il $k-mo$ è $alpha(x_k)$, applicando ancora la permutazione si riottiene $alpha(x_1)$ ed il ciclo è concluso. Naturalmente $x_1!=x_2!=...=!x_k=>alpha(x_1)alpha!=(x_2)!=...!=alpha(x_k)$, poiché si tratta di una permutazione.
Mi sembra tutto corretto, non vorrei che vi fosse annidiato qualche errore logico che mi sfugge...
Sul punto 2 sarò criptico
Sia \(\beta=\beta_1\cdot...\cdot\beta_k\), noti che \(\alpha^{-1}\cdot\alpha=\mathrm{Id}\) e quindi...
L'ho scritto che sono criptico questa volta!
Sul punto 2 sarò criptico
Sia \(\beta=\beta_1\cdot...\cdot\beta_k\), noti che \(\alpha^{-1}\cdot\alpha=\mathrm{Id}\) e quindi...
L'ho scritto che sono criptico questa volta!
Il secondo punto è semplicemente un estensione del primo. sappiamo già che se $beta_1$ è un ciclo di una certa lunghezza $k_1$, anche $alphabeta_1alpha^-1$ è un ciclo della stessa lunghezza. Ora, se $beta=beta_1beta_2...beta_b$ dove $beta_i$ è un ciclo, segue che $alphabetaalpha^-1=alphabeta_1beta_2...beta_balpha^-1=alphabeta_1alpha^-1alphabeta_2alpha^-1....alphabeta_balpha^-1$, e ciascuno dei $alphabeta_ialpha^-1$ è un ciclo di lunghezza pari a $beta_i$
Il terzo punto segue immediatamente dal secondo. Se $alphabeta$ è un prodotto di $b$ cicli disgiunti di lunghezze $k_1,k_2,…k_b$, anche $beta(alphabeta)beta^-1=betaalpha$ lo è.
Il terzo punto segue immediatamente dal secondo. Se $alphabeta$ è un prodotto di $b$ cicli disgiunti di lunghezze $k_1,k_2,…k_b$, anche $beta(alphabeta)beta^-1=betaalpha$ lo è.
It's all right! 
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