Alcuni isomorfismi tra prodotti tensoriali
Ciao, amici! Utilizzando la proprietà universale del prodotto tensoriale -nel terzo caso anche di \(M\otimes_R N\otimes_R P\) come prodotto tensoriale dei tre moduli $M$, $N$ e $P$ su $R$- sono giunto alla conclusione, spero esatta, che i seguenti isomorfismi di $R$-moduli:\[R\otimes_R M\xrightarrow{\sim}M,\quad a\otimes x\mapsto ax\]\[M\otimes_R N\xrightarrow{\sim}N\otimes_R M,\quad x\otimes y\mapsto y\otimes x\]\[(M\otimes_R N)\otimes_R P\xrightarrow{\sim}M\otimes_R (N\otimes_R P),\quad (x\otimes y)\otimes z\mapsto x\otimes( y\otimes z)\]sono gli unici isomorfismi di $R$-moduli esistenti tra l'uno e l'altro di questi prodotti tensoriali.
Dato che volevo segnarmelo in nota a margine a matita, prima di pasticciare il libro volevo chiedere conferma di questa cosa...
$\infty$ grazie a chi risponderà e tanti auguri a tutti!!!
Dato che volevo segnarmelo in nota a margine a matita, prima di pasticciare il libro volevo chiedere conferma di questa cosa...
$\infty$ grazie a chi risponderà e tanti auguri a tutti!!!
Risposte
"DavideGenova":
Ciao, amici! Utilizzando la proprietà universale del prodotto tensoriale -nel terzo caso anche di \(M\otimes_R N\otimes_R P\) come prodotto tensoriale dei tre moduli $M$, $N$ e $P$ su $R$- sono giunto alla conclusione, spero esatta, che i seguenti isomorfismi di $R$-moduli:\[R\otimes_R M\xrightarrow{\sim}M,\quad a\otimes x\mapsto ax\]\[M\otimes_R N\xrightarrow{\sim}N\otimes_R M,\quad x\otimes y\mapsto y\otimes x\]\[(M\otimes_R N)\otimes_R P\xrightarrow{\sim}M\otimes_R (N\otimes_R P),\quad (x\otimes y)\otimes z\mapsto x\otimes( y\otimes z)\]sono gli unici isomorfismi di $R$-moduli esistenti tra l'uno e l'altro di questi prodotti tensoriali.
In generale non penso proprio che sia vero: prova a comporre i tuoi "unici" isomorfismi con degli automorfismi del modulo codominio (o del modulo dominio). Prova anche solo a pensare agli elementi invertibili di un anello.
"DavideGenova":
Dato che volevo segnarmelo in nota a margine a matita, prima di pasticciare il libro volevo chiedere conferma di questa cosa...
Consiglio per esperienza personale: apri un file Latex e scrivi tutto ciò che ti serve: è molto più pulito, ordinato, trasportabile e, soprattutto, decifrabile anche a distanza di mesi.
"Leonardo89":
In generale non penso proprio che sia vero
Penso che il mio errore sia stato di aver frainteso una cosa: se $T'$, con $\tau':M\times N\to T'$, e $T$, con $\tau:M\times N\to T$, sono prodotti tensoriali di $M$ e $N$ su $R$, esiste un unico isomorfismo \(\varphi:T\to T'\) tale che \(\tau=\varphi\circ\tau'\), ma non in generale unico!
Ho pensato che sia \((M\otimes_R N)\otimes_R P\) sia \(M\otimes_R (N\otimes_R P)\) sono prodotti tensoriali di $M\times N\times P$ su $R$ e allo stesso modo sia $M\otimes_R N$ sia $N\otimes_R M$ sono prodotti tensoriali di $M\times N$ su $R$, questo è vero, giusto?
$\infty$ grazie e buone feste!!!
Un controesempio molto semplice si ha quando $R$ e' un anello con divisione diverso da \(\{0,1\}\); in quel caso \(\text{Aut}_R(R)\cong R^\times\), ed e' sufficiente prendere l'automorfismo determinato da un qualsiasi $r\neq 0$. Per tutti gli altri casi si fa allo stesso modo.
Quello che e' sempre vero e' che data una categoria \(\mathcal C\) la sottocategoria degli oggetti che soddisfano una certa proprieta' universale (ovvero che sono rappresentanti di un certo funtore, ovvero che sono limiti/colimiti di un certo diagramma) formano un gruppoide contrattile dove tra ogni coppia di oggetti c'e' uno e un solo isomorfismo (quello che qui verso la fine di pagina 19, in mancanza di un nome migliore, ho chiamato maximally connected groupoid).
Quello che e' sempre vero e' che data una categoria \(\mathcal C\) la sottocategoria degli oggetti che soddisfano una certa proprieta' universale (ovvero che sono rappresentanti di un certo funtore, ovvero che sono limiti/colimiti di un certo diagramma) formano un gruppoide contrattile dove tra ogni coppia di oggetti c'e' uno e un solo isomorfismo (quello che qui verso la fine di pagina 19, in mancanza di un nome migliore, ho chiamato maximally connected groupoid).
"DavideGenova":
se $T'$, con $\tau':M\times N\to T'$, e $T$, con $\tau:M\times N\to T$, sono prodotti tensoriali di $M$ e $N$ su $R$, esiste un unico isomorfismo \(\varphi:T\to T'\) tale che \(\tau=\varphi\circ\tau'\), ma non in generale unico!
La proprietà universale garantisce l'esistenza e l'unicità dell'omomorfismo [tex]\varphi[/tex] e garantisce anche il fatto che [tex]\varphi[/tex] sia biunivoca quindi un isomorfismo.
"DavideGenova":
Ho pensato che sia \((M\otimes_R N)\otimes_R P\) sia \(M\otimes_R (N\otimes_R P)\) sono prodotti tensoriali di $M\times N\times P$ su $R$ e allo stesso modo sia $M\otimes_R N$ sia $N\otimes_R M$ sono prodotti tensoriali di $M\times N$ su $R$, questo è vero, giusto?
Non capisco bene cosa tu voglia dire ma il prodotto tensore non è né associativo né commutativo: lo diventa solo a meno di isomorfismi.
$\infty$ grazie per le risposte a tutti e due!!!
Allo stesso modo $ M\otimes_R N $ con applicazione bilineare associata \(\tau'''\) e $ N\otimes_R M $ con un'opportuna applicazione bilineare \(\tau''''\) mi sembra che siano entrambi prodotti tensoriali di $ M\times N $ su $ R $. Mi sembrerebbe corretto prendendo \(\tau''''\) con le due "variabili invertite" e per il resto identica a \(\tau'''\) e notando che ad ogni applicazione bilineare \(M\times N\to E\) corrisponde una ed una sola applicazione bilineare \(N\times M\to E\), quella con le "variabili invertite". Sbaglio?
$\aleph_1$ grazie e felice 2014 a tutti!!!
"Leonardo89":Leggo sul Lang, Algebra, che si definisce, analogamente al caso del prodotto tensoriale di $M$ e $N$ su $R$, il prodotto tensoriale di $n$ $R$-moduli $M_1,...,M_n$, con $R$ anello commutativo, su $R$. Chiamiamolo \(\bigotimes_{i=1}^n M_i=M_1\otimes_R...\otimes_R M_n\) e chiamiamo $\tau$ l'applicazione multilineare associata a \(M\otimes_R N\otimes_R P\) con $M,N,P$ tre $R$-moduli. Mi sembra che, con un'opportuna scelta di un'applicazione multilineare associata, diciamo \(\tau'\) e \(\tau''\) rispettivamente, sia \( (M\otimes_R N)\otimes_R P \) sia \( M\otimes_R (N\otimes_R P) \) siano prodotti tensoriali di $ M\times N\times P $ su $ R $; naturalmente gli isomorfismi \(\varphi':M\otimes_R N\otimes_R P\xrightarrow{\sim} (M\otimes_R N)\otimes_R P\) e \(\varphi'':M\otimes_R N\otimes_R P\xrightarrow{\sim} M\otimes_R (N\otimes_R P)\) e tali che \(\tau'=\varphi'\circ\tau\) e \(\tau''=\varphi''\circ\tau\) sono unici. Giusto? È quanto mi sembra affermare l'utente wildildildlife qui...
Non capisco bene cosa tu voglia dire ma il prodotto tensore non è né associativo né commutativo: lo diventa solo a meno di isomorfismi.
Allo stesso modo $ M\otimes_R N $ con applicazione bilineare associata \(\tau'''\) e $ N\otimes_R M $ con un'opportuna applicazione bilineare \(\tau''''\) mi sembra che siano entrambi prodotti tensoriali di $ M\times N $ su $ R $. Mi sembrerebbe corretto prendendo \(\tau''''\) con le due "variabili invertite" e per il resto identica a \(\tau'''\) e notando che ad ogni applicazione bilineare \(M\times N\to E\) corrisponde una ed una sola applicazione bilineare \(N\times M\to E\), quella con le "variabili invertite". Sbaglio?
$\aleph_1$ grazie e felice 2014 a tutti!!!
Tutto vero. Gli isomorfismi non sono unici (perché appunto puoi comporre con gli automorfismi) ma non dipendono mai dalle basi scelte perché vengono gratis dalla proprietà universale (sono quindi canonici) - inoltre sparando così a caso mi verrebbe da dire che in una marea di casi sono proprio unici in questo senso, perché gli automorfismi in genere hanno bisogno di essere scritti usando una base.
Comunque di fatto con un po' di attenzione si può sempre far finta che i prodotti tensoriali siano associativi.
Comunque di fatto con un po' di attenzione si può sempre far finta che i prodotti tensoriali siano associativi.
\(\aleph_1\) grazie anche a te e felice anno nuovo!!! 
"Pappappero":
Tutto vero. Gli isomorfismi non sono unici (perché appunto puoi comporre con gli automorfismi) ma non dipendono mai dalle basi scelte perché vengono gratis dalla proprietà universale (sono quindi canonici) - inoltre sparando così a caso mi verrebbe da dire che in una marea di casi sono proprio unici in questo senso, perché gli automorfismi in genere hanno bisogno di essere scritti usando una base.
Non dimentichiamoci, comunque, che esistono moduli non liberi.
In effetti avevo in testa solo prodotti di spazi vettoriali...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo