Alcuni dubbi sulla teoria dei gruppi
Ciao a tutti, mi sto preparando per l'esame di algebra 2 e avrei proprio bisogno che qualcuno mi aiuti a capire le seguenti cose:
1) Come devo fare per trovare le classi conugate in $ D_4 $ ? finchè si tratta di trovarle nel gruppo delle permutazioni non ho problemi ma non riesco a capire come devo fare col gruppo diedrale...
2) Sia $ G $ il gruppo delle rotazioni del piano che lasciano fisso un punto 0. Detta $ phi $ la rotazione di $ pi $ si consideri il sottogruppo $ H $ generato da $ phi $. Si studino i laterali destri e sinistri modulo $ H $ .
Per questo punto direi che $ H={ id, pi } $ e che quindi tutti i laterali avranno cardinalità 2. Però non riesco a capire da che elementi è composto $ G $ e quindi, in pratica, se dovessi elencare i laterali non saprei farlo...
3) determinare tutti i sottogruppi di $ D_4 $ e qui buio completo... so da che elementi è composto $ D_4 $ ma non ho idea di come procedere per trovare tutti i sottogruppi...
4) dubbio su un esercizio sugli isomorfismi: dimostrare che l'insieme $ S={ ( ( x , y ),( -y , x ) ) | x,y in RR ,$ x,y, non entrambi nulli $ } $ è un sottogruppo di $ (GL_2 (RR), * ) $ isomorfo a $ (CC-{0}, * ) $
per quanto riguarda il dimostrare che è un sottogruppo nessun problema, per dire che è un'isomorfismo io direi che basta associare alla matrice il numero complesso $ x+iy $... è sufficiente dire qesto per dimostrare che è un'isomorfismo o devo aggiungere altro?
Grazie mille in anticipo a tutti!!!
1) Come devo fare per trovare le classi conugate in $ D_4 $ ? finchè si tratta di trovarle nel gruppo delle permutazioni non ho problemi ma non riesco a capire come devo fare col gruppo diedrale...
2) Sia $ G $ il gruppo delle rotazioni del piano che lasciano fisso un punto 0. Detta $ phi $ la rotazione di $ pi $ si consideri il sottogruppo $ H $ generato da $ phi $. Si studino i laterali destri e sinistri modulo $ H $ .
Per questo punto direi che $ H={ id, pi } $ e che quindi tutti i laterali avranno cardinalità 2. Però non riesco a capire da che elementi è composto $ G $ e quindi, in pratica, se dovessi elencare i laterali non saprei farlo...
3) determinare tutti i sottogruppi di $ D_4 $ e qui buio completo... so da che elementi è composto $ D_4 $ ma non ho idea di come procedere per trovare tutti i sottogruppi...
4) dubbio su un esercizio sugli isomorfismi: dimostrare che l'insieme $ S={ ( ( x , y ),( -y , x ) ) | x,y in RR ,$ x,y, non entrambi nulli $ } $ è un sottogruppo di $ (GL_2 (RR), * ) $ isomorfo a $ (CC-{0}, * ) $
per quanto riguarda il dimostrare che è un sottogruppo nessun problema, per dire che è un'isomorfismo io direi che basta associare alla matrice il numero complesso $ x+iy $... è sufficiente dire qesto per dimostrare che è un'isomorfismo o devo aggiungere altro?
Grazie mille in anticipo a tutti!!!
Risposte
Mi sembrano problemi che vanno da un settore all'altro senza meta. Sull'esercizio 3 ogni sottogruppo contiene l'identità, gli elementi di ordine due sono mandati in se stessi, le rotazioni formano un sottogruppo. Il resto deriva automaticamente
Per l'esercizio 1 direi che puoi anche solamente moltiplicare (sono solo 8 elementi o 4 a seconda delle notazioni). Altrimenti puoi usare la proprietà \(sr = r^{-1}s\) dove s e r sono i due soliti generatori del gruppo diedrale (\(r\) è la rotazione, \(s\) è la riflessione).
Il gruppo delle rotazioni ha tante forme. La più conosciuta è quella matriciale che consiste nel sottogruppo del sottogruppo che è posto nel punto 4 delle matrici con determinante unitario. D'altra parte penso che sia più semplice usare il fatto che è isomorfo a \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\) cioè ai complessi di modulo 1. \(H\) è l'insieme delle rotazioni di angoli multipli di \(\phi\). L'insieme è finito se \(\phi\) divide \(2\pi\) altrimenti è denso nell'intervallo \([0, 2\pi)\) (o meglio è isomorfo a quel sottogruppo di \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\)). Se è finito allora i laterali hanno ordine finito. Un laterale è formato da tutte le rotazioni che hanno angoli che si distanziano di un multiplo di \(\phi\). La stessa cosa vale nel caso in cui il gruppo è infinito ma in questo caso è più difficile visualizzare il laterale.
Per definire l'omomorfismo basta dire quello ma per dimostrare che è un omomorfismo devi fare i calcoli.
Per l'esercizio 1 direi che puoi anche solamente moltiplicare (sono solo 8 elementi o 4 a seconda delle notazioni). Altrimenti puoi usare la proprietà \(sr = r^{-1}s\) dove s e r sono i due soliti generatori del gruppo diedrale (\(r\) è la rotazione, \(s\) è la riflessione).
Il gruppo delle rotazioni ha tante forme. La più conosciuta è quella matriciale che consiste nel sottogruppo del sottogruppo che è posto nel punto 4 delle matrici con determinante unitario. D'altra parte penso che sia più semplice usare il fatto che è isomorfo a \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\) cioè ai complessi di modulo 1. \(H\) è l'insieme delle rotazioni di angoli multipli di \(\phi\). L'insieme è finito se \(\phi\) divide \(2\pi\) altrimenti è denso nell'intervallo \([0, 2\pi)\) (o meglio è isomorfo a quel sottogruppo di \(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\)). Se è finito allora i laterali hanno ordine finito. Un laterale è formato da tutte le rotazioni che hanno angoli che si distanziano di un multiplo di \(\phi\). La stessa cosa vale nel caso in cui il gruppo è infinito ma in questo caso è più difficile visualizzare il laterale.
Per definire l'omomorfismo basta dire quello ma per dimostrare che è un omomorfismo devi fare i calcoli.
grazie per la risposta, non mi sono chiare solo un paio di cose:
1)Mi potresti far vedere almeno un paio di passaggi? Perchè non riesco a capire bene...
intendi l'isomorfismo, giusto? quindi devo far anche vedere che la funzione che ho costruito mantiene l'operazione, giusto?
1)Mi potresti far vedere almeno un paio di passaggi? Perchè non riesco a capire bene...
"vict85":
Per definire l'omomorfismo basta dire quello ma per dimostrare che è un omomorfismo devi fare i calcoli.
intendi l'isomorfismo, giusto? quindi devo far anche vedere che la funzione che ho costruito mantiene l'operazione, giusto?
"AlyAly":
grazie per la risposta, non mi sono chiare solo un paio di cose:
1)Mi potresti far vedere almeno un paio di passaggi? Perchè non riesco a capire bene...
Tutti gli elementi del gruppo diedrale sono nella forma \(sr^k\) o \(r^k\). Sapendo questo fai i calcoli.
"AlyAly":
[quote="vict85"]
Per definire l'omomorfismo basta dire quello ma per dimostrare che è un omomorfismo devi fare i calcoli.
intendi l'isomorfismo, giusto? quindi devo far anche vedere che la funzione che ho costruito mantiene l'operazione, giusto?[/quote]
Si certo. Più avanti molti di questi omomorfismi li darai per scontati ma se ti viene chiesto espressamente allora devi mostrare che commuta con l'operazione.
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