Alcuni dubbi su concetti base di algebra
Qualche domanda terra-terra...
1) La legge di cancellazione vale in virtù degli elementi neutro e inverso. Vicerversa, è possibile che in un insieme con operazione sussista la legge di cancellazione, ma non l'elemento neutro o inverso, oppure si cade in qualche modo in contraddizione?
2) La proprietà $x^(i + j) = x^i y^j $ vale in un insieme chiuso rispetto al prodotto, perché x x ... x (i volte) x x x (j volte) = x x x x (i + j volte).
La stessa proprietà implica l'elemento neutro ponendo i = 0 o j = 0.
Quindi la chiusura implica l'elemento neutro...? Ma non mi sembra... dove sbaglio?
1) La legge di cancellazione vale in virtù degli elementi neutro e inverso. Vicerversa, è possibile che in un insieme con operazione sussista la legge di cancellazione, ma non l'elemento neutro o inverso, oppure si cade in qualche modo in contraddizione?
2) La proprietà $x^(i + j) = x^i y^j $ vale in un insieme chiuso rispetto al prodotto, perché x x ... x (i volte) x x x (j volte) = x x x x (i + j volte).
La stessa proprietà implica l'elemento neutro ponendo i = 0 o j = 0.
Quindi la chiusura implica l'elemento neutro...? Ma non mi sembra... dove sbaglio?
Risposte
Assumiamo che l'operazione è associativa: (quasi) tutte le operazioni che si usano lo sono. Un insieme dotato di un'operazione associativa si chiama semigruppo.
1) Prendi $\NN_{>0}$, il semigruppo dei naturali (senza lo zero). $\NN$ è un semigruppo, cha ha la somma come operazione. Vale la legge di cancellazione, ma non c'è l'elemento neutro.
2) Immagino ci sia un errore di battitura: $y$ dovrebbe essere $x$. La risposta è no: ancora una volta il semigruppo dei naturali con l'operazione di somma (quindi il tuo esponente diventa un multiplo) fornisce un esempio. Il fatto che gli esponenti con la stessa base si possano raccogliere come vuoi (fatto certamente vero in ogni semigruppo), non ti dice che puoi usare tutti gli esponenti che vuoi! In particolare, nei naturali non nulli puoi usare esponenti (che in notazione additiva sono multipli) che sono almeno $1$ (cioè parti a contare da $1$).
In realtà lo stesso discorso di può fare per l'insieme dei numeri naturali maggiori o uguali di $N$, con $N$ arbitrario; l'insieme è sempre un semigruppo, non c'è elemento neutro, non ci sono inversi. In questo caso il "primo" elemento che hai è proprio $N$; se $m,n \ge N$ allora $m+n \ge N$ quindi l'insieme è chiuso rispetto alla somma. Puoi raccogliere le potenze (cioè i fattori):
\[m + n = m* 1 + n* 1 = (m+n)*1 = m+n.\]
Quiz:
Si produca un esempio di semigruppo in cui NON vale la legge di cancellazione. Se il semigruppo ha un elemento neutro, questo esempio esiste?
1) Prendi $\NN_{>0}$, il semigruppo dei naturali (senza lo zero). $\NN$ è un semigruppo, cha ha la somma come operazione. Vale la legge di cancellazione, ma non c'è l'elemento neutro.
2) Immagino ci sia un errore di battitura: $y$ dovrebbe essere $x$. La risposta è no: ancora una volta il semigruppo dei naturali con l'operazione di somma (quindi il tuo esponente diventa un multiplo) fornisce un esempio. Il fatto che gli esponenti con la stessa base si possano raccogliere come vuoi (fatto certamente vero in ogni semigruppo), non ti dice che puoi usare tutti gli esponenti che vuoi! In particolare, nei naturali non nulli puoi usare esponenti (che in notazione additiva sono multipli) che sono almeno $1$ (cioè parti a contare da $1$).
In realtà lo stesso discorso di può fare per l'insieme dei numeri naturali maggiori o uguali di $N$, con $N$ arbitrario; l'insieme è sempre un semigruppo, non c'è elemento neutro, non ci sono inversi. In questo caso il "primo" elemento che hai è proprio $N$; se $m,n \ge N$ allora $m+n \ge N$ quindi l'insieme è chiuso rispetto alla somma. Puoi raccogliere le potenze (cioè i fattori):
\[m + n = m* 1 + n* 1 = (m+n)*1 = m+n.\]
Quiz:
Si produca un esempio di semigruppo in cui NON vale la legge di cancellazione. Se il semigruppo ha un elemento neutro, questo esempio esiste?
"Pappappero":
Il fatto che gli esponenti con la stessa base si possano raccogliere come vuoi (fatto certamente vero in ogni semigruppo), non ti dice che puoi usare tutti gli esponenti che vuoi!
Sei stato chiarissimo, grazie
Quiz:
Si produca un esempio di semigruppo in cui NON vale la legge di cancellazione.
Cercherei tra le matrici... l'insieme M delle matrici di ordine n ispetto alla moltiplicazione non ė un gruppo perché non tutte le matrici sono invertibili. Però la moltiplicazione ė associativa e chiusa. Quindi M ė un semigruppo.
In M non vale la legge di cancellazione, p. es. $A^2 = A$ non implica $A = I$.
Se il semigruppo ha un elemento neutro, questo esempio esiste?
Se me lo chiedi mi aspetto un "no", però la matrice identità è elemento neutro per la moltiplicazione. Quindi... sì, esiste!
Se invece il semigruppo ha anche elemento inverso, allora diventa un gruppo, vale la legge di cancellazione e l'esempio non esiste.
Concordo su tutto. In generale un esempio facile di semigruppo in cui non vale la legge di cancellazione è il seguente: prendi un insieme infinito $X$ (credo vada bene un insieme qualsiasi con almeno $3$ elementi, ma prendiamolo infinito per stare sul sicuro).
\[G = \{ f : X \to X \}.\]
con l'operazione di composizione di funzioni. E' un semigruppo con identità (in questo caso si chiama monoide), ma in generale non vale la legge di cancellazione; si tratta di una generalizzazione del tuo esempio delle matrici, che si possono sempre vedere come funzioni tra due spazi vettoriali (e il prodotto di matrice corrisponde alla composizione).
Più nello specifico, qualunque anello (con unità) che non sia un dominio di integrità, ha un prodotto associativo con elemento neutro, ma non vale la legge di cancellazione per il prodotto.
\[G = \{ f : X \to X \}.\]
con l'operazione di composizione di funzioni. E' un semigruppo con identità (in questo caso si chiama monoide), ma in generale non vale la legge di cancellazione; si tratta di una generalizzazione del tuo esempio delle matrici, che si possono sempre vedere come funzioni tra due spazi vettoriali (e il prodotto di matrice corrisponde alla composizione).
Più nello specifico, qualunque anello (con unità) che non sia un dominio di integrità, ha un prodotto associativo con elemento neutro, ma non vale la legge di cancellazione per il prodotto.
"Pappappero":
credo vada bene un insieme qualsiasi con almeno $ 3 $ elementi, ma prendiamolo infinito
si tratta di una generalizzazione del tuo esempio delle matrici, che si possono sempre vedere come funzioni tra due spazi vettoriali (e il prodotto di matrice corrisponde alla composizione).
Vero, allora potremmo trovare anche l'esempio con 3 elementi, prendendo le applicazioni associate a $ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) , ( ( 1 , 2 ),( 0 , 0 ) ) , I $ ... Mi sembra soddisfino le condizioni chiusura, associativa ed elemento neutro.
Più nello specifico, qualunque anello (con unità) che non sia un dominio di integrità, ha un prodotto associativo con elemento neutro, ma non vale la legge di cancellazione per il prodotto.
Agli anelli non ci sono ancora arrivata: la terrò da parte...
Si...il monoide definito da quelle tre matrici funziona. Io stavo pensando a funzioni $f:X \to X$ dove $X$ ha solo tre elementi, ma va bene lo stesso. In realtà ne bastano $2$. Se $X = \{a,b\}$ allora $f:X \to X$ definita da $f(a)=f(b) = a$ soddifa $f^2 = f$ ma non è l'identità.
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