Alcune domande sugli anelli e sui campi, mi aiutate a rispondere?
1)Se $A$ è un campo di ordine $m$ chi sarà il polinomio fondamentale?
$x^m-x$ che ammette come decomposizione $x(x-c2)..(x-cm)$ dove $A={0,c_2,..,c_m}$
in particolare tutti gli elementi di A sono radici di $x^m-x $
-L'ordine di $A$ è soggetto a qualche restrizione?
-Com'è legato con $A$?
2) Dato un polinomio a coefficienti in un campo $K$ c'è sempre un campo di spezzamento?
Si, c'è un teorema che lo dimostra per $gr(f)=n ≥1$, dove $f$ polinomio a coefficienti in $K$ e in particolare si ha che $(F:K)≤ n$!
Per $gr(f)=1$ il campo di spezzamento F coincide con K, si dimostra ragionando per induzione.
3) Perché esiste un unico campo di ordine $p^n$ con p primo ed $n$ intero?
Perché presi due campi qualunque di ordine $p^n$ si dimostra che sono sempre isomorfi.
4)Esistono anelli infiniti con caratteristica diversa da $0$?
La risposta dovrebbe essere si, ma mi aiutate a trovare un esempio?
5) L'anello $ZZ$ dei numeri interi è ad ideali principali?
La risposta è si, perchè $ZZ$ è un anello euclideo e si dimostra che un anello euclideo è anche principale ( e anche fattoriale) quindi tutti i suoi ideali sono principali .
Giusto?
6)Ci sono sempre ideali massimali?
Il teorema di Krull garantisce l'esistenza ma solo per un anello unitario, ipotesi che non si può omettere, quindi in generale non ci sono anelli massimali.
Qualcuno mi sa fare un esempio di un anello che non ha ideali massimali?
7)Qual è la caratteristica di $ZZ_3\timesZZ_6$?
E' $6$ perchè l'unità di$ ZZ_3\timesZZ_6$ è la coppia formata dall'unità di $ZZ3$ e dall'unità di $ZZ6$,
dobbiamo trovare il periodo di quest'elemento che è il minimo comune multiplo dei periodi che è $6$.
-Che ordine ha? $18$
-E' isomorfo a $ZZ$? no perché per esserlo dovrebbe avere caratteristica $0$
-E' isomorfo a $ZZ_18$? No perchè la $charZZ_18=18$
So che le risposte che ho ho scritto sono un pò stringate, ovviamente in sede d'esame saprei argomentare, vorrei capire se sono sulla buona strada e in più vorrei risolvere i dubbi sulle domande a cui ancora non ho risposto.
Grazie
$x^m-x$ che ammette come decomposizione $x(x-c2)..(x-cm)$ dove $A={0,c_2,..,c_m}$
in particolare tutti gli elementi di A sono radici di $x^m-x $
-L'ordine di $A$ è soggetto a qualche restrizione?
-Com'è legato con $A$?
2) Dato un polinomio a coefficienti in un campo $K$ c'è sempre un campo di spezzamento?
Si, c'è un teorema che lo dimostra per $gr(f)=n ≥1$, dove $f$ polinomio a coefficienti in $K$ e in particolare si ha che $(F:K)≤ n$!
Per $gr(f)=1$ il campo di spezzamento F coincide con K, si dimostra ragionando per induzione.
3) Perché esiste un unico campo di ordine $p^n$ con p primo ed $n$ intero?
Perché presi due campi qualunque di ordine $p^n$ si dimostra che sono sempre isomorfi.
4)Esistono anelli infiniti con caratteristica diversa da $0$?
La risposta dovrebbe essere si, ma mi aiutate a trovare un esempio?
5) L'anello $ZZ$ dei numeri interi è ad ideali principali?
La risposta è si, perchè $ZZ$ è un anello euclideo e si dimostra che un anello euclideo è anche principale ( e anche fattoriale) quindi tutti i suoi ideali sono principali .
Giusto?
6)Ci sono sempre ideali massimali?
Il teorema di Krull garantisce l'esistenza ma solo per un anello unitario, ipotesi che non si può omettere, quindi in generale non ci sono anelli massimali.
Qualcuno mi sa fare un esempio di un anello che non ha ideali massimali?
7)Qual è la caratteristica di $ZZ_3\timesZZ_6$?
E' $6$ perchè l'unità di$ ZZ_3\timesZZ_6$ è la coppia formata dall'unità di $ZZ3$ e dall'unità di $ZZ6$,
dobbiamo trovare il periodo di quest'elemento che è il minimo comune multiplo dei periodi che è $6$.
-Che ordine ha? $18$
-E' isomorfo a $ZZ$? no perché per esserlo dovrebbe avere caratteristica $0$
-E' isomorfo a $ZZ_18$? No perchè la $charZZ_18=18$
So che le risposte che ho ho scritto sono un pò stringate, ovviamente in sede d'esame saprei argomentare, vorrei capire se sono sulla buona strada e in più vorrei risolvere i dubbi sulle domande a cui ancora non ho risposto.
Grazie
Risposte
"asabasa":
4)Esistono anelli infiniti con caratteristica diversa da $0$?
La risposta dovrebbe essere si, ma mi aiutate a trovare un esempio?
Se considero un campo $H$ di caratteristica $p$ allora la sua chiusura algebrica $K$ è un campo infinito,
è infinito perchè se per assurdo fosse finito avrei che
$f(x)= 1 + \prod_{ainK}(x-a)$ $in K[x]$ non ha radici in $K$
perché $f(a)=1$ invece di $f(a)=0$ $AAainK$ , quindi $K$ non sarebbe algebricamente chiuso.
"asabasa":
6)Ci sono sempre ideali massimali?
Il teorema di Krull garantisce l'esistenza ma solo per un anello unitario, ipotesi che non si può omettere, quindi in generale non ci sono anelli massimali.
Qualcuno mi sa fare un esempio di un anello che non ha ideali massimali?
Ogni gruppo abeliano $(A,+)$ privo di sottogruppi massimali, con la moltiplicazione così definita:
$ab=0$ $AA(a,b)$ coppia di elementi di $A$
sulla 2) : c'è uno e UNO SOLO campo di spezzamento, dimostrandosi che cds dello stesso polinomio sono tra loro isomorfi (questi sono tra i punti di partenza per la teoria di Galois)
"silov":
sulla 2) : c'è uno e UNO SOLO campo di spezzamento, dimostrandosi che cds dello stesso polinomio sono tra loro isomorfi (questi sono tra i punti di partenza per la teoria di Galois)
Grazie
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