A/Ker f significato
Ciao a tutti,
sto cercando di capire cosa indichi la scrittura A/Kerf (con A anello).
In generale ho capito che con la scrittura A/R si indica l'insieme quoziente ovvero l'insieme della classi di equivalenza modulo R e cioè tutti gli elementi che sono legati tra loro dalla relazione R.
Ora se tutto questo è giusto, essendo il Kerf l'insieme degli elementi del dominio di f ai quali viene associato l'elemento neutro del codominio di f; con A/Kerf cosa si intende? Il Kerf lo vedo come insieme non come relazione, quindi non riesco a capire come si costruisce tale insieme a partire da f (nello specifico mi occorre sapere cosa significa Z/Kerf), possibilmente con qualche esempio perchè sto facendo mille ricerche ma continuo ad avere dubbi.
Grazie mille
sto cercando di capire cosa indichi la scrittura A/Kerf (con A anello).
In generale ho capito che con la scrittura A/R si indica l'insieme quoziente ovvero l'insieme della classi di equivalenza modulo R e cioè tutti gli elementi che sono legati tra loro dalla relazione R.
Ora se tutto questo è giusto, essendo il Kerf l'insieme degli elementi del dominio di f ai quali viene associato l'elemento neutro del codominio di f; con A/Kerf cosa si intende? Il Kerf lo vedo come insieme non come relazione, quindi non riesco a capire come si costruisce tale insieme a partire da f (nello specifico mi occorre sapere cosa significa Z/Kerf), possibilmente con qualche esempio perchè sto facendo mille ricerche ma continuo ad avere dubbi.
Grazie mille
Risposte
In generale, se tu hai un gruppo $G$ (in notazione additiva) e un sottogruppo $H$ si indica con $G/H$ l'insieme quoziente associato alla relazione (d'equivalenza) $x-y \in H$.
Nel tuo caso, piglia un anello $A$, un morfismo di anelli $f$ e due elementi di $A$; dichiari equivalenti tali elementi se e soltanto se differiscono per un elemento del nucleo del tuo morfismo: in formule, $x \sim y$ sse esiste \( w \in \ker f\) tale che $x-y=w$. Verifica che tale relazione è di equivalenza; l'insieme quoziente è proprio $A/\text{ker f}$.
Ora, si dà il caso che se il sottogruppo $H$ è normale in $G$ o se - nel caso degli anelli - quozienti non per un generico sottoanello, ma per un ideale, l'insieme quoziente eredita struttura; in tal caso si parla di gruppo/anello quoziente. Lascio a te il piacere di verificare che il nucleo di un morfismo di anelli è sempre un ideale (bilatero), sicché il tuo $A/\text{ker f}$ è a sua volta un anello.
Un po' più chiaro? Se hai ancora dubbi o domande, non esitare
P.S. Benvenut* tra noi!
Nel tuo caso, piglia un anello $A$, un morfismo di anelli $f$ e due elementi di $A$; dichiari equivalenti tali elementi se e soltanto se differiscono per un elemento del nucleo del tuo morfismo: in formule, $x \sim y$ sse esiste \( w \in \ker f\) tale che $x-y=w$. Verifica che tale relazione è di equivalenza; l'insieme quoziente è proprio $A/\text{ker f}$.
Ora, si dà il caso che se il sottogruppo $H$ è normale in $G$ o se - nel caso degli anelli - quozienti non per un generico sottoanello, ma per un ideale, l'insieme quoziente eredita struttura; in tal caso si parla di gruppo/anello quoziente. Lascio a te il piacere di verificare che il nucleo di un morfismo di anelli è sempre un ideale (bilatero), sicché il tuo $A/\text{ker f}$ è a sua volta un anello.
Un po' più chiaro? Se hai ancora dubbi o domande, non esitare
P.S. Benvenut* tra noi!
Prima di tutto grazie mille della risposta.
Ho continuato le mie ricerche e se ho capito bene il discorso che fai tu (utilizzando come operazione la somma) diventa utilizzando come operazione il prodotto la seguente:
$ x \sim y $ $hArr$ $1=f(x^-1 y)=f(x)^-1f(y)$ $hArr$ $f(x)=f(y)$ avendo utilizzato $1$ come unità.
Se quello che ho appena scritto è giusto allora se considero $A$ anello con $\varepsilon$ come unità, e prendo l'omomorfismo
$f: n $ $in$ $ZZ$ $=>$$n$$\varepsilon$ $in$ $A$ con $ZZ$$/$$Kerf$ indico l'insieme quoziente ovvero l'insieme delle classi di equivalenza $mod Kerf$ e cioè $ x \sim y $ $hArr$ $x^-1y$ $in$ $Ker f$ $hArr$ $\varepsilon$ $=$ $f(x^-1 y)=f(x)^-1f(y)$ $hArr$ $f(y)=$$\varepsilon$$f(y)$ è giusto?
Grazie infinite
Ho continuato le mie ricerche e se ho capito bene il discorso che fai tu (utilizzando come operazione la somma) diventa utilizzando come operazione il prodotto la seguente:
$ x \sim y $ $hArr$ $1=f(x^-1 y)=f(x)^-1f(y)$ $hArr$ $f(x)=f(y)$ avendo utilizzato $1$ come unità.
Se quello che ho appena scritto è giusto allora se considero $A$ anello con $\varepsilon$ come unità, e prendo l'omomorfismo
$f: n $ $in$ $ZZ$ $=>$$n$$\varepsilon$ $in$ $A$ con $ZZ$$/$$Kerf$ indico l'insieme quoziente ovvero l'insieme delle classi di equivalenza $mod Kerf$ e cioè $ x \sim y $ $hArr$ $x^-1y$ $in$ $Ker f$ $hArr$ $\varepsilon$ $=$ $f(x^-1 y)=f(x)^-1f(y)$ $hArr$ $f(y)=$$\varepsilon$$f(y)$ è giusto?
Grazie infinite
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