Aiuto teorema aritmetica

[fransis2]

c'è un teorema su cui vorrei chiedervi spiegazioni. sia $K$ un campo. Siano $a,b$ algebrici su $K$. Il mio professore ha dimostrato che $b$ è algebrico su $K(a)$ per cui, essendo il polimio minimo di $b$ su $K$ un nultiplo di quello di $b$ su $K(a)$ si ricava che $[K(a,b):K(a)]<=[K(b):K]$ per cui $[K(a,b):K(a)][K(a):K]<=[K(b):K][K(a):K]$. Fin qui ci sono. Da qui però ricava che ogni elemento di $K(a,b)$ è algebrico su $K$ e questo non l'ho capito perchè. Potreste spiegarmelo, per favore?

[miuemia]

se $a$ e $b$ sono algebrici su $K$ allora hai che $[K(a,b):K]$ è finita in quanto visto come spazio vettoriale su $K$ una base è della forma ${alpha_i beta_j}$
per $i=1,..n$ e $j=1,...,m$ e dove gli $alpha_i$ sono una base di $K(a)$ su $K$ e i $beta_j$ una base di $K(b)$ su $K$.... quindi l'estensione è algebrica cioè ogni elemento è algebrico su $K$....

[Studente Anonimo]

Ciao!

Ogni estensione finita è algebrica. Infatti se L/K è finita e $a in L$ allora per la formula dei gradi $[L:K(a)][K(a):K]=[L]$ è finito. In particolare $[K(a):K]$ è finito, i.e. a è algebrico su K.

[fransis2]

forse ho intuito ciò che che vuole fare però non sono sicuro. Per quello che ho capito l'obiettivo di dimostrare che $[K(a,b):K(a)][K(a):K]<=[K(b):K][K(a):K]$ era solo quello di dimostrare che $[K(a,b):K]=m$ è finito. Se è finito allora per ogni elemento $y$ di K(a,b) ${1,y,y^2...y^m-1}$ è una base perchè sono linearmente indipendenti (sono $m$) e generano (e vero?) quindi $z=a_0+a_1y+a_2y^2+...y^m$ da cui $z-a_0+a_1x+a_2x^2+...x^m$ è il polinomio minimo di $y$ su K e quindi $y$ è algebrico su $K$.

[fransis2]

forse ho intuito ciò che che vuole fare però non sono sicuro. Per quello che ho capito l'obiettivo di dimostrare che $[K(a,b):K(a)][K(a):K]<=[K(b):K][K(a):K]$ era solo quello di dimostrare che $[K(a,b):K]=m$ è finito. Se è finito allora per ogni elemento $y$ di $K(a,b)$ ${1,y,y^2...y^(m-1)}$ è una base perchè sono linearmente indipendenti (sono $m$) e generano (e vero?) quindi per ogni $z$ appartenente a $K(a,b)$ e quindi in particolare per quelli appartenenti a $K$ si ha $z=a_0+a_1y+a_2y^2+...a_ky^(m-1)$ da cui $z-a_0+a_1x+a_2x^2+...a_kx^(m-1)$ è il polinomio minimo di $y$ su $K$ e quindi $y$ è algebrico su $K$. E' giusto tutto ciò o il motivo è tutt'altro?

[fransis2]

voi pensate che sia come ho scritto io sopra?