Aiuto sui criteri di divisibilità

[Firefilo1]

Salve! è il mio primo post su questo forum quindi mi scuso in anticipo per eventuali errori di forma, sezione sbagliata, ecc..

Volevo chiedere se qualcuno sapeva come dimostrare i seguenti criteri di divisibilità: per 2/5, per 3/9 e per 11.
Ho le dimostrazioni della mia professoressa ma da essi capisco poco e niente ed inoltre cercando su internet o sullo stesso forum non ho trovato niente che possa effettivamente aiutarmi. So solo che ho bisogno di dimostrarli attraverso l'uso di congruenze e di rappresentazione biadica (in particolare a base 10).

Qualcuno che sappia aiutarmi o perlomeno chiarirmi le idee?

[G.D.5]

Direi che il modo migliore di procedere sia chiarire ciò che non ti è chiaro nelle dimostrazioni che ti sono state fornite dalla tua Professoressa. Comincia a riportare la dimostrazione del criterio di divisibilità per \( 2 \) e chiedi ciò che ti occorre riguardo a questa dimostrazione. Chiarita questa, poi una alla vota si passa alle altre.

[Firefilo1]

Sono riuscito a farmi mandare una copia degli appunti della lezione sui criteri di divisibilità più sistemata così da poterci capire meglio qualcosa.
Rileggendola ho compreso meglio quella del criterio di divisibilità per 2, ma ho ancora un dubbio sull'ultima parte finale quindi riporto qui sotto la dimostrazione (Cerco almeno di farlo nel miglior modo che posso):

Enunciato: Un qualsiasi numero del tipo $a=a_0+a_1*10+a_2*10^2+...+a_r*10^r in ZZ$ è divisibile per $ 2 hArr 2|a_0$
Dimostrazione:
Dato allora il numero $a=a_0+a_1*10+a_2*10^2+...+a_r*10^r in ZZ$, posso tranquillamente scrivere che

$10-=0 mod 2 $
$10^2-=0 mod 2 $
.
.
.
$10^i-=0 mod 2 $

Come anche è vero che $a_0-=a_0 mod 2 $

Allora posso riassumere tutto in $a_0+a_1*10+a_2*10^2+...+a_r*10^r-=a_0 mod 2$, riscrivibile nella forma $a_0+a_1*10+a_2*10^2+...+a_r*10^r-a_0=2k$

E giungendo qui mi blocco e non so concludere.. Come posso dire che a_0 è multiplo di 2 da quest'ultima congruenza che mi son costruito apposta?
Ah, ed anche se è un se e solo se l'enunciato, la mia prof l'ha dimostrato solo in un verso e non il viceversa..

[G.D.5]

Giunto a \( a_{0} + a_{1} \cdot 10 + a_{2} \cdot 10^{2} + \ldots + a_{r} \cdot 10^{r} \equiv a_{0} \pmod{2} \) hai finito perché, per definizione, questo significa che \( 2 \mid ( a_{0} + a_{1} \cdot 10 + a_{2} \cdot 10^{2} + \ldots + a_{r} \cdot 10^{r} ) - a_{0} \), il che significa che \( a_{0} + a_{1} \cdot 10 + a_{2} \cdot 10^{2} + \ldots +a_{r} \cdot 10^{r} \) e \( a_{0} \) hanno lo stesso resto nella divisione per \( 2 \), indi per cui se \( 2 \mid a_{0} + a_{1} \cdot 10 + a_{2} \cdot 10^{2} + \ldots + a_{r} \cdot 10^{r} \), allora \( 2 \mid a_{0} \) e, viceversa, se \( 2 \mid a_{0} \), allora \( 2 \mid a_{0} + a_{1} \cdot 10 + a_{2} \cdot 10^{2} + \ldots + a_{r} \cdot 10^{r} \).

Quando si fanno le congruenze modulo \( n \) infatti si pone per definizione \( a \equiv b \pmod{n} \) se e solo se \( n \mid a - b \) e si dimostra poi quasi subito che \( n \mid a - b \) se e solo se \( a \) e \( b \) hanno lo stesso resto nella divisione per \( n \).

P.S.
Io credevo che tu avessi a disposizione gli appunti rilasciati dalla tua Professoressa ma mi pare di capire che hai a disposizione solo gli appunti presi a lezione. Magari potrebbe esserti utile integrarli con queste note.