Aiuto su gruppi e sottogruppi

[wino_7]

Salve a tutti, devo sostenere l'esame orale di matematica discreta e mi sorge un dubbio.
Praticamente
Se G è un gruppo ed H è un sottoinsieme di G è vero che posso affermare che non è detto che sia H è un sottogruppo di G?

Io ragiono in questa maniera ditemi se sbaglio.
Un sottogruppo per essere tale deve essere un sottogruppoide che in più possiede l'elemento neutro del gruppo di cui è sottogruppo ed inoltre ogni suo elemento simmetrico deve appartenere al suo insieme sostegno.
Dunque se io prendo un sottoinsieme dell'insieme del gruppo non è detto che ci sia anche l'elemento neutro del gruppo, dunque un sottoinsieme di un gruppo non è detto che sia sottogruppo

Secondo voi è corretto? Lo so che non è per nulla formale come spiegazione ma quantomeno il ragionamento è giusto?

[Seneca1]

Più che altro è una cosa abbastanza ovvia. Infatti esiste l'utile criterio che ti permette di stabilire se un sottoinsieme non vuoto di [tex]$G$[/tex] ([tex]$G$[/tex] gruppo) è o meno un sottogruppo.

Come dici tu basta scegliere un sottoinsieme di [tex]$G$[/tex] che non contenga l'elemento neutro del gruppo...

[vict85]

Puoi anche usare come controesempio un qualsiasi insieme di un solo elemento che non sia l'identità. Ogni sottoinsieme può essere collegato comunque ad un sottogruppo di $G$ che lo contiene.

[borador]

Ma certo.
Essere sottoinsieme è condizione necessaria ma non sufficiente a essere un sottogruppo.
In altre parole: $H$ sottogruppo di $G$ $rArr$ $H$ sottoinsieme di $G$. La freccia opposta, in generale, è falsa (come ti hanno già giustamente detto seneca e vict85 prima di me!).