Aiuto per \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{Z} _{2804} \)
Ciao ragazzi, mi aiutate a capire da dove posso iniziare il ragionamento per risolvere questo esercizio?
non ho proprio idea
Quanti e quali sono gli elementi di \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{Z} _{2804} \) tali che \(\displaystyle \alpha^3=\alpha \) ?
Scusate anche per il titolo poco esplicativo ma proprio non so di che si parla in questo caso, ho dato un occhiata al libro (Matematica Discreta e applicazioni) ma non ho trovato molto.
Grazie per il vostro supporto
non ho proprio idea
Quanti e quali sono gli elementi di \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{Z} _{2804} \) tali che \(\displaystyle \alpha^3=\alpha \) ?
Scusate anche per il titolo poco esplicativo ma proprio non so di che si parla in questo caso, ho dato un occhiata al libro (Matematica Discreta e applicazioni) ma non ho trovato molto.
Grazie per il vostro supporto
Risposte
Mi vien da pensare: se $ a^3=a $, allora $ a^2*a=a=>a^2=1 $ per il principio di semplificazione. Devi trovare allora gli elementi di periodo 2 in $ ZZ_2804 $, almeno credo...
Grazie Frink,
questa sera provo a svolgere l'esercizio con i tuoi suggerimenti,
grazie mille
questa sera provo a svolgere l'esercizio con i tuoi suggerimenti,
grazie mille
@Frink Non e' corretto. Per esempio $a=701$ e' una soluzione di $a^3=a$,
ma $701^2\!= 1$ modulo $2804$. Il tuo "principio di semplificazione" va solo
bene se $a$ e' invertibile in $ZZ_{2804}$.
ma $701^2\!= 1$ modulo $2804$. Il tuo "principio di semplificazione" va solo
bene se $a$ e' invertibile in $ZZ_{2804}$.
"Stickelberger":
@Frink Non e' corretto. Per esempio $a=701$ e' una soluzione di $a^3=a$,
ma $701^2\!= 1$ modulo $2804$. Il tuo "principio di semplificazione" va solo
bene se $a$ e' invertibile in $ZZ_{2804}$.
Grazie anche a te Stickelberger, qui tu come suggerisci di risolvere? la traccia non parla di $a$ invertibile in $ZZ_{2804}$
Fattorizzerei $2804$ ed applicherei il teorema cinese del resto.
Ci sono nove soluzioni in $ZZ_{2804}$, se non sbaglio.
Ci sono nove soluzioni in $ZZ_{2804}$, se non sbaglio.
"Stickelberger":
Fattorizzerei $2804$ ed applicherei il teorema cinese del resto.
Ci sono nove soluzioni in $ZZ_{2804}$, se non sbaglio.
Ciao Stickelberger,
ho ripreso oggi questo esercizio, ho fattorizzato $ 2804 = 2^2 \cdot 701 $ ma come applico il teorema cinese del resto?!
me lo puoi spiegare come faresti con un bimbo? grazie mille
nessuno mi può dare una dritta?!
(scusate ma è che proprio non riesco)
(scusate ma è che proprio non riesco)
Prima determinare le soluzioni $x_i$ dell'equazione $X^3-X=0$ in $\ZZ_4$.
E' facile perche' $ZZ_4$ e' piccolo. Ce ne sono tre.
Poi trovare le soluzioni $y_j$ dell'equazione $X^3-X=0$ in $\ZZ_{701}$.
Ce ne sono tre, perche' $701$ e' primo e $ZZ_{701}$ e' quindi un campo.
Per concludere usare il teorema cinese del resto per risolvere
i nove sistemi
$\{(X \equiv x_i mod 4), (X \equiv y_j mod 701):}$.
E' facile perche' $ZZ_4$ e' piccolo. Ce ne sono tre.
Poi trovare le soluzioni $y_j$ dell'equazione $X^3-X=0$ in $\ZZ_{701}$.
Ce ne sono tre, perche' $701$ e' primo e $ZZ_{701}$ e' quindi un campo.
Per concludere usare il teorema cinese del resto per risolvere
i nove sistemi
$\{(X \equiv x_i mod 4), (X \equiv y_j mod 701):}$.
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