Aiuto, per dimostrare che G e un gruppo ciclico

[hubabuba]

Sia G un gruppo di ordine 21 e si assuma che esista un omomorfismo non banale $\phi : G\rightarrow ZZ $/$ 7ZZ$
1) Si provi che G ha un unico sottogruppo normale di ordine 3
2) Si provi che G e ciclico

Il punto uno lo dimostrato,invece il secondo punto non lo posso fare. Qualcuno mi può dare una mano?

[mistake89]

Se il punto 1) L'hai dimostrato allora sai che il $3$-sylow è normale. Non dovrebbe essere difficile mostrare che anche il $7$-sylow lo è e di conseguenza essendo $G$ isomorfo al loro prodotto diretto esso stesso sarà ciclico.

[EnderWiggins]

Mi intrometto solo perchè penso che ci sia la possibilità che hubabuba non abbia lavorato con i p-sylow. Mettiamola così, hai già provato l'esistenza di un sottogruppo di ordine 3, che quindi è per forza ciclico perchè ha cardinalità un primo. Ora, sai anche che hai un omomorfismo non banale con $ZZ_7$, quindi avrai un sottogruppo di G di cardinalità 7, a sua volta ciclico, isomorfo a $ZZ_7$. Se prendi un elemento dal primo, lui e le sue potenze non potranno mai stare nel secondo (infatti la cardinalità dei sottogruppi deve dividere quella dei gruppi in cui vivono, e 7 non può essere diviso per 3). Allo stesso modo se prendi un elemento dal secondo. Allora prova a pensare a cosa succede se invece prendi il prodotto di questi due..