Aiuto per algebra

[moxetto]

ciao, spero che possiate aiutarmi:
come faccio a sapere quanti sono gli elementi di un anello/campo di polinomi e come faccio a trovarli?

come si risolvono gli esercizi di questo genere:
i) Calcolare l’ordine di 5 in ($ZZ_101$)*.
ii) Trovare due distinte fattorizzazioni di P=($X^2$+ 7) in $ZZ$/16$ZZ$[X]

[_prime_number]

Ben arrivato sul forum! Come regalo di benvenuto ti schiaffo qua 2 regole di questo forum :
1. http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-vt26179.html scrivere, come insegnato in questo topic ( tempo di lettura 5 minuti) le formule per bene, visto che ce n'è la possibilità

2. E' TASSATIVO postare almeno parte del proprio procedimento, per dimostrare che non ci stai usando come... calcolatrice! Serve anche a noi per capire come aiutarti, in che punti ti blocchi...

Ciao,

Paola

[moxetto]

grazie per il benvenuto

allora posso provare a risolvere i):
dovrei risolvere $5^x$$-=$1(mod101) giusto?
non conosco un metodo per risolverlo, provo per tentativi: x=81 perchè $5^81$=405 che nella divisione per 101 dà resto 1

adesso provo con ii)
allora P(3)=9+7=16=0 quindi è una radice $rarr$ $x^2$+7=(x-3)(x+3)
questa posso considerarla una fattorizzazione? e per trovarne un'altra?
forse si fa: P(5)=32=0 quindi è una radice $rarr$ $x^2$+7=(x-5)(x+5)

aspetto sempre conferme perchè non sono sicuro di nulla al 100%....

[_luca.barletta]

"moxetto":
allora posso provare a risolvere i):
dovrei risolvere $5^x$$-=$1(mod101) giusto?
non conosco un metodo per risolverlo, provo per tentativi: x=81 perchè $5^81$=405 che nella divisione per 101 dà resto 1

Sicuramente 81 non può essere l'ordine moltiplicativo di 5, perché, per il th di Lagrange, si ha che $"ord"_101(5)|phi(101)=100$ e 81 non divide 100.

[moxetto]

sì è vero, io ho fatto $5*81$ e non $5^81$... come si fa?! come si fa?! bho....
posso provare con tutti i divisori di cento? no, perchè ci metterei una vita...

pensandoci 5 e 101 sono coprimi, quindi $5^(φ(101))-=$1(mod 101), x=100 e 100 divide 100
però visto che l'ordine per definizione è il minore degli x t.c. messi come esponente... ecc ecc.... come faccio a sapere se l'ordine di 5 è 100 oppure ce ne sta uno più piccolo (ed allora 100 non è l'ordine)?

[moxetto]

mi è venuto un dubbio: l'identità di bezout si può sempre applicare? anche con i polinomi?

[_Tipper]

Sì, si può applicare anche con i polinomi.

[moxetto]

ma se ho due polinomi che gia dopo la prima divisione non mi dà resto, come faccio a trovare una loro combinazione lineare uguale al MCD?
ad esempio p=$x^2-1$ e q=x-1
MCD(p,q)=x-1
p:q=x+1 resto 0

[vict85]

"moxetto":ciao, spero che possiate aiutarmi:
come faccio a sapere quanti sono gli elementi di un anello/campo di polinomi e come faccio a trovarli?

come si risolvono gli esercizi di questo genere:
i) Calcolare l’ordine di 5 in ($ZZ_101$)*.
ii) Trovare due distinte fattorizzazioni di P=($X^2$+ 7) in $ZZ$/16$ZZ$[X]

i) $ZZ_101$ è un campo essendo $101$ primo. $(ZZ_101)$* è un gruppo ciclico di ordine $100$ ($varphi(101)=100$) che ha come elemento neutro $1$ e come generatore 2 (ce ne sono molti di più ma quello è sicuramente uno).
Un modo per risolvere il problema è trovare l'esponente per cui $2^x -= 5 (mod\ 101)$ (che con un po' di calcoli si scopre che è $24$, che non è coprimo con 100 e quindi non è un generatore del gruppo moltiplicativo). Dopo si calcola il MCD($24$, $100$)$ = 4$ e da quello si scopre che $5$ ha ordine $25$. Questo però è un modo piuttosto laborioso...
Ora come ora non mi vengono altri modi...

ii) Comincia a trovare le radici del polinomio. Quindi le fattorizzazioni sono $(x +3)(x-3)$ e $(x+5)(x-5)$ o se preferisci $(x+3)(x+13)$ e $(x+5)(x+11)$.
Questo era giusto.

[_Tipper]

"moxetto":ma se ho due polinomi che gia dopo la prima divisione non mi dà resto, come faccio a trovare una loro combinazione lineare uguale al MCD?
ad esempio p=$x^2-1$ e q=x-1
MCD(p,q)=x-1
p:q=x+1 resto 0

Se $p(x)$ e $q(x)$ sono due polinomi tali che $\gcd(p(x), q(x)) = q(x)$, allora $q(x) | p(x)$, pertanto esiste un polinomio $r(x)$ tale che $p(x) = r(x) q(x)$, ovvero $p(x) = (r(x) - 1 + 1) q(x) \implies p(x) = (r(x) - 1) q(x) + q(x) \implies p(x) + (1 - r(x)) q(x) = q(x)$, et voilà...

[moxetto]

grazie mille... siete stati fantastici!