Aiuto esercizio sui Gruppi

[gabry451]

Sia G= {g € G| g=3z z€Z }. Si verifichi se (G,+) e un sottogruppo di (Z,+) essendo l addizione l usuale operazione in Z

Io ho provato a dimostrare che a (Z,+) appartengono identita e inverso.

Per l’ identità: 3z+ 0g= 0g+3z=3z z€Z allora 0g € Z
Per l’ inverso: 3z+b = b+ 3z = 0g z,b €Z allora 0g € Z

In questo modo risulta dimostrata l inclusione in Z+ da parte di G+?

Avete qualche suggerimento?

[Relegal]

Non mi pare che quanto hai fatto sia corretto: Tu devi dimostrare che $(G;+)$ è un sottogruppo di $(ZZ;+)$. ( è chiaro, per definizione dell'nisieme $G$, che è $G$ è un sottoinsieme di $ZZ$.) Per stabilire se è un sottogruppo esistono dei criteri, quali:
i) Un sottoinsieme $H$ di un gruppo $(G;+)$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $AA h_1,h_2 in H$, si ha $h_1+h_2 in H$ e
$h_1^-1 in H$
ii) Un sottoinsieme $H$ di un gruppo $(G;+)$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $AA h_1,h_2 in H$, si ha $h_1+h_2^-1 in H$.
Se non conosci questi criteri, direi che devi verificare "a mano", se sono verificate o meno le proprietà che un insieme deve possedere per essere chiamato gruppo, e cioè:
Considerato un insieme $G$ sul quale è definita un'operazione $+$, $(G;+)$ è un gruppo se
1- L'operazione + definita sull'insieme è una legge di composizione interna.
2- L'operazione + è associativa.
3- Esiste l'elemento neutro rispetto all'operazione +. (Nel nostro caso non devi cercarlo, se esiste coincide con quello di $(ZZ;+)$).
4- Esiste l'inverso per ogni elemento del gruppo.

[gabry451]

"Relegal":Non mi pare che quanto hai fatto sia corretto: Tu devi dimostrare che $(G;+)$ è un sottogruppo di $(ZZ;+)$. ( è chiaro, per definizione dell'nisieme $G$, che è $G$ è un sottoinsieme di $ZZ$.) Per stabilire se è un sottogruppo esistono dei criteri, quali:
i) Un sottoinsieme $H$ di un gruppo $(G;+)$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $AA h_1,h_2 in H$, si ha $h_1+h_2 in H$ e
$h_1^-1 in H$
ii) Un sottoinsieme $H$ di un gruppo $(G;+)$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $AA h_1,h_2 in H$, si ha $h_1+h_2^-1 in H$.
Se non conosci questi criteri, direi che devi verificare "a mano", se sono verificate o meno le proprietà che un insieme deve possedere per essere chiamato gruppo, e cioè:
Considerato un insieme $G$ sul quale è definita un'operazione $+$, $(G;+)$ è un gruppo se
1- L'operazione + definita sull'insieme è una legge di composizione interna.
2- L'operazione + è associativa.
3- Esiste l'elemento neutro rispetto all'operazione +. (Nel nostro caso non devi cercarlo, se esiste coincide con quello di $(ZZ;+)$).
4- Esiste l'inverso per ogni elemento del gruppo.

Ciao, si normalmente so rilevare se G è un sottogruppo o meno. Mi interessava la parte riguardante i criteri.

Quindi dovrei verificare se (G,+) è un sotogruppo di (Z,+) allora:

1) (G,+) è un sottoinsieme di (Z,+) solo se $AA g_1,g_2 in G$, si ha $g_1+g_2^-1 in G$ e $g_1^-1 in G$
2)Il sottoinsieme $G$ del gruppo $(Z;+)$ è un sottogruppo di $Z$ se e solo se $AA g_1,g_2 inG$, si ha $g_1+g_2^-1 in G$.

Giusto?

[Relegal]

La seconda che hai scritto è giusta, la prima no:
1-(G;+) è un sottogruppo di $(ZZ;+)$ se e solo se $AA g_1, g_2 in G,$ si ha $g_1+g_2 in G$ e $g_1^-1 in G$.

[gabry451]

Sono arrivato a dimostrare questo, potete dirmi se è corretto o meno?


a,b € G se a= 3z b=3z' z,z'€Z da cui a+b=3z+3z'=3(z+z') € G

poi

g^{<-1>} = 3z+(-3z)=0 € G

inoltre

g= 3z + 0=3z € G

[Hop Frog1]

o molto più semplicemente, Teorema di caratterizzazione dei Sottogruppi:

[tex]G \subseteq Z[/tex]
[tex]\forall x,y \in G, x*y^{-1} \in G \Rightarrow G sottogruppo[/tex]

Dunque,
per ogni 3z,3k:
3z-3k=3(z-k)
z-k è in Z, quindi 3z-3k è della forma 3x, quindi è elemento di G. cvd.