Aiuto esercizio su $ZZ/(2ZZ)$
Buongiorno.
volevo chiedere conferma su un esercizio. Sicuramente è banale, ma visto che ancora non mi muovo bene, vorrei conferme per evitare di dire stupidaggini.
L'esercizio è il seguente:
Sia $ F_2 := ZZ/(2ZZ) $ e X un'indeterminata su $ F_2 $
a) sia $f(x)=x^2+x+bar(1) in F_2[x]$. Qual è la cardinalità di $ (F_2[x])/((f(x))) $
b) dimostrate che $(F_2[x])/((f(x)))$ è un campo.
allora...
per il punto b) avevo pensato che, dato che $f(x)=x^2+x+bar(1)$ è un irriducibile in $F_2[x]$ allora genera un ideale massimale (dato che $F_2[x]$ è un PID) e questo mi dice che $ (F_2[x])/((f(x))) $ è un campo. è sbagliato?
per il punto a) non saprei... devo solo elencare gli elementi? come mi devo muovere?
Grazie mille in anticipo!
volevo chiedere conferma su un esercizio. Sicuramente è banale, ma visto che ancora non mi muovo bene, vorrei conferme per evitare di dire stupidaggini.
L'esercizio è il seguente:
Sia $ F_2 := ZZ/(2ZZ) $ e X un'indeterminata su $ F_2 $
a) sia $f(x)=x^2+x+bar(1) in F_2[x]$. Qual è la cardinalità di $ (F_2[x])/((f(x))) $
b) dimostrate che $(F_2[x])/((f(x)))$ è un campo.
allora...
per il punto b) avevo pensato che, dato che $f(x)=x^2+x+bar(1)$ è un irriducibile in $F_2[x]$ allora genera un ideale massimale (dato che $F_2[x]$ è un PID) e questo mi dice che $ (F_2[x])/((f(x))) $ è un campo. è sbagliato?
per il punto a) non saprei... devo solo elencare gli elementi? come mi devo muovere?
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Ciao.
Sì, il punto b) l'hai risolto perfettamente. Per il punto a), in questo caso puoi elencare direttamente gli elementi.
In generale, comunque, tieni presente che nel quoziente un sistema completo di rappresentanti è dato da tutti i polinomi di grado strettamente minore a quello di $f(x)$ (perché?).
Se ti interessa, puoi provare a pensare a questo (che è la generalizzazione del tuo esercizio): sia [tex]\mathbb{F}_{p} : = \frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}[/tex] il campo con $p$ elementi e $f(x) \in \mathbb{F}_{p}[x]$ un polinomio irriducibile di grado $n$. Determinare il numero di elementi di $(\mathbb{F}_{p}[x])/(f(x))$.
Se sei pratico con un po' di Algebra lineare, prova a determinare anche la dimensione di $(\mathbb{F}_{p}[x])/(f(x))$ come $\mathbb{F}_{p}$-spazio vettoriale.
Sì, il punto b) l'hai risolto perfettamente. Per il punto a), in questo caso puoi elencare direttamente gli elementi.
In generale, comunque, tieni presente che nel quoziente un sistema completo di rappresentanti è dato da tutti i polinomi di grado strettamente minore a quello di $f(x)$ (perché?).
Se ti interessa, puoi provare a pensare a questo (che è la generalizzazione del tuo esercizio): sia [tex]\mathbb{F}_{p} : = \frac{\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}[/tex] il campo con $p$ elementi e $f(x) \in \mathbb{F}_{p}[x]$ un polinomio irriducibile di grado $n$. Determinare il numero di elementi di $(\mathbb{F}_{p}[x])/(f(x))$.
Se sei pratico con un po' di Algebra lineare, prova a determinare anche la dimensione di $(\mathbb{F}_{p}[x])/(f(x))$ come $\mathbb{F}_{p}$-spazio vettoriale.
Ti ringrazio. Ci ragionerò su e poi ti farò sapere
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