Aiuto esercizio GRUPPI
Salve Ragazzi 
Avrei alcuni dubbi sul seguente esercizio:
$G = Q×Q$∗ e si definisce la seguente legge di composizione interna:
$(a, b) ∗ (c, d) = (a + c, bd), ∀(a, b),(c, d) ∈ G$
Come posso dimostrare che è associativa?
Inoltre come posso verificare se $ H = {(m,1) ∈ G| b ∈ Z}$ è sottogruppo?
Grazie mille!
Avrei alcuni dubbi sul seguente esercizio:
$G = Q×Q$∗ e si definisce la seguente legge di composizione interna:
$(a, b) ∗ (c, d) = (a + c, bd), ∀(a, b),(c, d) ∈ G$
Come posso dimostrare che è associativa?
Inoltre come posso verificare se $ H = {(m,1) ∈ G| b ∈ Z}$ è sottogruppo?
Grazie mille!
Risposte
Per dimostrare l'associatività devi provare che $(a,b)*((c,d)*(e,f))=((a,b)*(c,d))*(e,f)$.
1.Sottogruppo di chi? E' importante specificare l'altro gruppo. Presumo sia $G$.
2.Nella definizione di $H$ il termine $b$ non compare. Intendi $m in ZZ$ ?
Innanzitutto verifica che $H$ è non vuoto e sta in $G$. Quindi ha senso chiedersi se sia un sottogruppo.
Si tratta di mostrare che dati $(m,1),(n,1) in H$,si ha $(m,1)*(n,1)^(-1) in H$.
"jhon07":
Inoltre come posso verificare se $ H = {(m,1) ∈ G| b ∈ Z}$ è sottogruppo?
1.Sottogruppo di chi? E' importante specificare l'altro gruppo. Presumo sia $G$.
2.Nella definizione di $H$ il termine $b$ non compare. Intendi $m in ZZ$ ?
Innanzitutto verifica che $H$ è non vuoto e sta in $G$. Quindi ha senso chiedersi se sia un sottogruppo.
Si tratta di mostrare che dati $(m,1),(n,1) in H$,si ha $(m,1)*(n,1)^(-1) in H$.
Ok grazie sono riuscito a dimostrare l'associativa
Non ho ben capito questo
$(m,1),(n,1)∈H$,si ha $(m,1)⋅(n,1)−1∈H.$
Potresti ripetermi i criteri per determinare un sottogruppo?
Non ho ben capito questo
$(m,1),(n,1)∈H$,si ha $(m,1)⋅(n,1)−1∈H.$Potresti ripetermi i criteri per determinare un sottogruppo?
Sia $G$ un gruppo. Un sottoinsieme $H$ di un gruppo $G$ si dice sottogruppo se $H$ è un gruppo rispetto all'operazione definita da $G$.
Un versione operativa per verificare questa proprietà è data da questo fatto: se $G$ è un gruppo e $H$ un suo sottoinsieme, allora $H$ è sottogruppo di $G$ se e solo se $a*b^(-1) in H$, dove $*$ è l'operazione definita in $G$.
In poche parole, prendi due elementi che appartengono ad $H$. Fai $a*b^(-1)$. Se l'elemento che risulta appartiene ancora ad $H$, allora è sottogruppo di $G$. Altrimenti no.
Nota che devi sapere com'è fatto l'inverso. E nel tuo caso puoi ricavarlo
Un versione operativa per verificare questa proprietà è data da questo fatto: se $G$ è un gruppo e $H$ un suo sottoinsieme, allora $H$ è sottogruppo di $G$ se e solo se $a*b^(-1) in H$, dove $*$ è l'operazione definita in $G$.
In poche parole, prendi due elementi che appartengono ad $H$. Fai $a*b^(-1)$. Se l'elemento che risulta appartiene ancora ad $H$, allora è sottogruppo di $G$. Altrimenti no.
Nota che devi sapere com'è fatto l'inverso. E nel tuo caso puoi ricavarlo
ok quindi se ho capito bene ho come elemento neutro $ (0,1)$
Successivamente prendendo due generici $a,b$ appartenenti ad $H$
$a = (1,3)$
$b = (1,2) $ con $b^(-1) = (1,-2)$
sviluppo $(1,3)*(1,-2) = (1,1)$ e da ciò posso affermare che $Hsub G$
Successivamente prendendo due generici $a,b$ appartenenti ad $H$
$a = (1,3)$
$b = (1,2) $ con $b^(-1) = (1,-2)$
sviluppo $(1,3)*(1,-2) = (1,1)$ e da ciò posso affermare che $Hsub G$
"jhon07":
ok quindi se ho capito bene ho come elemento neutro $ (0,1)$
ok. Quindi sai anche com'è fatto l'inverso
"jhon07":
Successivamente prendendo due generici a,b appartenenti ad H
a=(1,3)
b=(1,2)
Così hai dimostrato un solo caso. Tu ne hai preso uno in particolare, non uno generico.
Trova chi è $(c,d)^(-1)$. Poi fai questa operazione $(a,b)*(c,d)^-(1)$.
ok quindi dato un generico $(c,d)$ $(c,d)^(-1) = (c,-d)$
Quindi $(a,b)*(c,-d) = (ac,bc -d) $e questo appartiene ad $H$
Quindi $(a,b)*(c,-d) = (ac,bc -d) $e questo appartiene ad $H$
Il tuo inverso non è corretto.
Per determinare l'inverso puoi fare così:
Sapendo che l'elemento neutro è $(0,1)$, si ha che deve essere $(a,b)*(c,d)=(0,1)$
Quindi $a+c=0$ e $bd=1$. Per cui l'inverso di $(a,b)$ è $(-a,1/a)$.
ora prendi due elementi in $H$ e fai quello che devi fare
Sapendo che l'elemento neutro è $(0,1)$, si ha che deve essere $(a,b)*(c,d)=(0,1)$
Quindi $a+c=0$ e $bd=1$. Per cui l'inverso di $(a,b)$ è $(-a,1/a)$.
ora prendi due elementi in $H$ e fai quello che devi fare
Ok grazie mille per l'aiuto! 
Se hai tempo potresti aiutarmi con questo esrcizio? Non so proprio come farlo...
Dato l’insieme $G = {id4, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2), (3 4), (1 4 2 3), (1 3 2 4)}$
(a) Dimostrare che $G$ è un sottogruppo di $S4$
(b) scrivere la tabella della moltiplicazione del gruppo $G$
(c) stabilire se $G$ è ciclico.
Dato l’insieme $G = {id4, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2), (3 4), (1 4 2 3), (1 3 2 4)}$
(a) Dimostrare che $G$ è un sottogruppo di $S4$
(b) scrivere la tabella della moltiplicazione del gruppo $G$
(c) stabilire se $G$ è ciclico.
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