Aiuto esercizio GRUPPI

jhon07
Salve Ragazzi :D

Avrei alcuni dubbi sul seguente esercizio:
$G = Q×Q$∗ e si definisce la seguente legge di composizione interna:
$(a, b) ∗ (c, d) = (a + c, bd), ∀(a, b),(c, d) ∈ G$

Come posso dimostrare che è associativa?
Inoltre come posso verificare se $ H = {(m,1) ∈ G| b ∈ Z}$ è sottogruppo?

Grazie mille!

Risposte
feddy
Per dimostrare l'associatività devi provare che $(a,b)*((c,d)*(e,f))=((a,b)*(c,d))*(e,f)$.

"jhon07":

Inoltre come posso verificare se $ H = {(m,1) ∈ G| b ∈ Z}$ è sottogruppo?


1.Sottogruppo di chi? E' importante specificare l'altro gruppo. Presumo sia $G$.
2.Nella definizione di $H$ il termine $b$ non compare. Intendi $m in ZZ$ ?

Innanzitutto verifica che $H$ è non vuoto e sta in $G$. Quindi ha senso chiedersi se sia un sottogruppo.

Si tratta di mostrare che dati $(m,1),(n,1) in H$,si ha $(m,1)*(n,1)^(-1) in H$.

jhon07
Ok grazie sono riuscito a dimostrare l'associativa

Non ho ben capito questo :? $(m,1),(n,1)∈H$,si ha $(m,1)⋅(n,1)−1∈H.$

Potresti ripetermi i criteri per determinare un sottogruppo?

feddy
Sia $G$ un gruppo. Un sottoinsieme $H$ di un gruppo $G$ si dice sottogruppo se $H$ è un gruppo rispetto all'operazione definita da $G$.

Un versione operativa per verificare questa proprietà è data da questo fatto: se $G$ è un gruppo e $H$ un suo sottoinsieme, allora $H$ è sottogruppo di $G$ se e solo se $a*b^(-1) in H$, dove $*$ è l'operazione definita in $G$.

In poche parole, prendi due elementi che appartengono ad $H$. Fai $a*b^(-1)$. Se l'elemento che risulta appartiene ancora ad $H$, allora è sottogruppo di $G$. Altrimenti no.

Nota che devi sapere com'è fatto l'inverso. E nel tuo caso puoi ricavarlo

jhon07
ok quindi se ho capito bene ho come elemento neutro $ (0,1)$

Successivamente prendendo due generici $a,b$ appartenenti ad $H$
$a = (1,3)$
$b = (1,2) $ con $b^(-1) = (1,-2)$

sviluppo $(1,3)*(1,-2) = (1,1)$ e da ciò posso affermare che $Hsub G$

feddy
"jhon07":
ok quindi se ho capito bene ho come elemento neutro $ (0,1)$

ok. Quindi sai anche com'è fatto l'inverso

"jhon07":
Successivamente prendendo due generici a,b appartenenti ad H
a=(1,3)
b=(1,2)


Così hai dimostrato un solo caso. Tu ne hai preso uno in particolare, non uno generico.

Trova chi è $(c,d)^(-1)$. Poi fai questa operazione $(a,b)*(c,d)^-(1)$.

jhon07
ok quindi dato un generico $(c,d)$ $(c,d)^(-1) = (c,-d)$

Quindi $(a,b)*(c,-d) = (ac,bc -d) $e questo appartiene ad $H$

feddy
Il tuo inverso non è corretto.

feddy
Per determinare l'inverso puoi fare così:

Sapendo che l'elemento neutro è $(0,1)$, si ha che deve essere $(a,b)*(c,d)=(0,1)$

Quindi $a+c=0$ e $bd=1$. Per cui l'inverso di $(a,b)$ è $(-a,1/a)$.

ora prendi due elementi in $H$ e fai quello che devi fare

jhon07
Ok grazie mille per l'aiuto! :)

jhon07
Se hai tempo potresti aiutarmi con questo esrcizio? Non so proprio come farlo...

Dato l’insieme $G = {id4, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2), (3 4), (1 4 2 3), (1 3 2 4)}$

(a) Dimostrare che $G$ è un sottogruppo di $S4$
(b) scrivere la tabella della moltiplicazione del gruppo $G$
(c) stabilire se $G$ è ciclico.

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