Aiuto esercizio algebra!!
Sono al primo anno di matematica. il mio professore ci ha dato alcuni esercizi di algebra sulle prime cose, proponendo anche la soluzione. Non riesco però a capire un passaggio, potreste aiutarmi?
L'esercizio è:
Siano S,T,V insiemi. Allora:
(S $uu$ T) $nn$ V $sube$ S $uu$ (T $nn$ V)
La soluzione:
sia x $in$ (S $uu$ T) $nn$ V . Allora x $in$ S $uu$ T e x $in$ V $iff$ ( x $in$ S o x $in$ T) e (x $in$ V)
$=>$ (x $in$ S e x $in$ V) o (x $in$ T e x $in$ V) $=>$ x $in$ S $uu$ (T $nn$ V)
Non riesco a capire proprio gli ultimi due passaggi... più che arrivare a quella conclusione, sembra una dimostrazione per la proprietà distributiva. Come fa a dimostrare che effettivamente tutta la prima parte è contenuta nella seconda?
L'esercizio è:
Siano S,T,V insiemi. Allora:
(S $uu$ T) $nn$ V $sube$ S $uu$ (T $nn$ V)
La soluzione:
sia x $in$ (S $uu$ T) $nn$ V . Allora x $in$ S $uu$ T e x $in$ V $iff$ ( x $in$ S o x $in$ T) e (x $in$ V)
$=>$ (x $in$ S e x $in$ V) o (x $in$ T e x $in$ V) $=>$ x $in$ S $uu$ (T $nn$ V)
Non riesco a capire proprio gli ultimi due passaggi... più che arrivare a quella conclusione, sembra una dimostrazione per la proprietà distributiva. Come fa a dimostrare che effettivamente tutta la prima parte è contenuta nella seconda?
Risposte
Non e' che forse l'esercizio chiedeva
$(S \cup T) \cap V ⊆ (S \cap V) \cup (T \cap V)$
?
Quello che cerchi di dimostrare tu e' falso (si vede ad occhio la stranezza, perche' $S$ e $T$ devono essere intercambiabili, e nella tua traccia non lo sono).
Ciao!
$(S \cup T) \cap V ⊆ (S \cap V) \cup (T \cap V)$
?
Quello che cerchi di dimostrare tu e' falso (si vede ad occhio la stranezza, perche' $S$ e $T$ devono essere intercambiabili, e nella tua traccia non lo sono).
Ciao!
la relazione $(S uu T) nn V sube S uu (T nn V)$ non mi sembra falsa. io la dimostrerei così:
Sia $x in (S uu T) nn V$. distinguiamo due casi: $x in S$ e $x notin S$
1) se $x in S$, allora $x in S uu (T nn V)$
2) se $x notin S$, allora necessariamente $x in T$. inoltre certamente $x in V$,
dunque $x in T nn V$, da cui $x in S uu (T nn V)$
Sia $x in (S uu T) nn V$. distinguiamo due casi: $x in S$ e $x notin S$
1) se $x in S$, allora $x in S uu (T nn V)$
2) se $x notin S$, allora necessariamente $x in T$. inoltre certamente $x in V$,
dunque $x in T nn V$, da cui $x in S uu (T nn V)$
Salve Gio8!
HO UN DUBBIO: quello che hai dimostrato equivale a
$x in (S uu T) nn V hArr x in A uu T ^^ × in V$.
Pertanto come elemento di $S $ e di $V$, $x in SnnV $ e dunque
$x in S uu (T nn V)$;
COME ELEMENTO DI $T$ e di $V$, $x in T nn V $ e dunque
$x in S uu (T nn V)$ che è quello che volevamo dimostrare.
Per l'altra inclusione si procederà più o meno allo stesso modo
HO UN DUBBIO: quello che hai dimostrato equivale a
$x in (S uu T) nn V hArr x in A uu T ^^ × in V$.
Pertanto come elemento di $S $ e di $V$, $x in SnnV $ e dunque
$x in S uu (T nn V)$;
COME ELEMENTO DI $T$ e di $V$, $x in T nn V $ e dunque
$x in S uu (T nn V)$ che è quello che volevamo dimostrare.
Per l'altra inclusione si procederà più o meno allo stesso modo
Non ho ben capito cosa mi vuoi dire (tra l'altro hai sicuramente sbagliato a scrivere qualche simbolo)
i passaggi che ho scritto permettono di affermare che $(S uu T) nn V sube S uu (T nn V)$
i passaggi che ho scritto permettono di affermare che $(S uu T) nn V sube S uu (T nn V)$
Come fai a dire che ho sbagliato...a me sembra che tu hai dato per scontato alcuni passaggi
"marcus112":
Come fai a dire che ho sbagliato...
Ho scritto che hai sbagliato a scrivere qualche simbolo. E lo confermo.
Rileggi il messaggio che hai scritto. Noterai che c'è qualcosa che non va.
"marcus112":
a me sembra che tu hai dato per scontato alcuni passaggi
a me sembra di no. vedremo se l'original poster avrà qualche osservazione da fare
A parte la $A$ che deve essere una $S $ la dimostrazione mi sembra corretta. Se ne hai voglia controllala, sono qui per imparare.
Scusa marcus112 ma secondo te questa scrittura
Il membro di destra non è comprensibile ...
"marcus112":cosa significa?
$ x in (S uu T) nn V hArr x in A uu T ^^ × in V $.
Il membro di destra non è comprensibile ...
Se parli di $A$ intendevo $S $...
Secondo te la sequenza $^^ xx in$ che significato ha?
"axpgn":
Secondo te la sequenza $^^ xx in$ che significato ha?
Penso che sia un errore di battitura e che intenta \(\displaystyle \wedge (x\in V) \) ovvero “e \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle V \)”.
Avendo scritto due volte la $x$ correttamente nella stessa espressione, il dubbio che intendesse altro c'era ... 
E' un errore di battitura....confermo quello che ha detto vict85.
Eliminati questi errori penso che vada bene. Comunque se si può dimostrare in altri modi sono qui ad imparare.
Grazie a tutti
Eliminati questi errori penso che vada bene. Comunque se si può dimostrare in altri modi sono qui ad imparare.
Grazie a tutti
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