Aiuto esercizio
Potreste aiutarmi in un esercizio?
Si consideri il gruppo (Q/Z,+)
-Si dimostri che per ogni elemento x appartenente a Q/Z esiste un t appartenente a N* tale che tx = 0 (presumo intenda t+x)
Io procedo così:
Scrivo chi è Q/Z.
Q/Z = {mn^-1/ m=nq+r, per ogni m, n appartenenti a Z, esistono e sono unici q,r appartenenti a z, 0
Poi continuo:
Per ogni x appartenente a Q-Z ==> x= mn^-1 ===> mn^-1=q+rn^-1 ===> 0= n^-1(r-m)+q
Chiamo y = n^-1(r-m) e dimostro che appartiene a Q-Z.
n^-1(r-m) = n^-1r-mn^-1
Il secondo termine appartiene a Q-Z per ipotesi, il primo perché per ipotesi 0
E finisco. Il problema è che il t che dovrei trovare (che da me è q) non è detto che appartenga a N*, ma sicuramente a Z.
Ho sbagliato qualcosa? Come dovrei fare?
Si consideri il gruppo (Q/Z,+)
-Si dimostri che per ogni elemento x appartenente a Q/Z esiste un t appartenente a N* tale che tx = 0 (presumo intenda t+x)
Io procedo così:
Scrivo chi è Q/Z.
Q/Z = {mn^-1/ m=nq+r, per ogni m, n appartenenti a Z, esistono e sono unici q,r appartenenti a z, 0
Poi continuo:
Per ogni x appartenente a Q-Z ==> x= mn^-1 ===> mn^-1=q+rn^-1 ===> 0= n^-1(r-m)+q
Chiamo y = n^-1(r-m) e dimostro che appartiene a Q-Z.
n^-1(r-m) = n^-1r-mn^-1
Il secondo termine appartiene a Q-Z per ipotesi, il primo perché per ipotesi 0
E finisco. Il problema è che il t che dovrei trovare (che da me è q) non è detto che appartenga a N*, ma sicuramente a Z.
Ho sbagliato qualcosa? Come dovrei fare?
Risposte
Credo che per Q/Z intenda il gruppo quoziente, cioè l'insieme delle classi laterali a+Z dove a è razionale.
Effettivamente...mi sono accorto che per la differenza la slash è opposta... Ora provo a rifare l'esercizio. Grazie per la risposta!
Ok grazie. Ora avrei un altro problema su un altro esercizio.
Sia S10 il gruppo simmetrico su dieci oggetti e H= {f/f appartiene ad S10, f(10)=10}
-Si dimostri che il gruppo H è isomorfo al gruppo simmetrico su nove oggetti S9.
E questo è un esercizio che PRECEDE il teorema di omomorfismo di gruppi, quindi ho provato senza usare quello.
Ho provato così:
ho considerato f(n) in H, con n naturale fino a 10, e s(n') in S9, con n' naturale fino a 9.
f(n) e s(n') permutazioni.
Per provare che i due gruppi sono isomorfi ho provato a cercare un isomorfismo io stesso.
Ho chiamato un'applicazione g(f(n)) :H ----> S9 e l'ho così definito: g(f(n)) = f(n) # s(n'), con # l'operazione di composizione fra applicazioni.
g(f(n))= f(n) # s(n') = f(s(n')) che è:
Un'applicazione suriettiva.
Un'applicazione iniettiva.
Mi manca da verificare che sia un omomorfismo, ma qui ho qualche problema, perchè faccio:
(considero h(n) un altro elemento di H)
g(f(n)#h(n)) = [f(n)#h(n)]#s(n')=f(h(s(n')))=f(n)#h(n)#s(n')= f(n)#g(h(n))
Alla fine non riesco a dimostrare che è un omomorfismo. Mi manca qualche passaggio, devo ricorrere a qualche trucco? O devo cercare un'altra applicazione?
Sia S10 il gruppo simmetrico su dieci oggetti e H= {f/f appartiene ad S10, f(10)=10}
-Si dimostri che il gruppo H è isomorfo al gruppo simmetrico su nove oggetti S9.
E questo è un esercizio che PRECEDE il teorema di omomorfismo di gruppi, quindi ho provato senza usare quello.
Ho provato così:
ho considerato f(n) in H, con n naturale fino a 10, e s(n') in S9, con n' naturale fino a 9.
f(n) e s(n') permutazioni.
Per provare che i due gruppi sono isomorfi ho provato a cercare un isomorfismo io stesso.
Ho chiamato un'applicazione g(f(n)) :H ----> S9 e l'ho così definito: g(f(n)) = f(n) # s(n'), con # l'operazione di composizione fra applicazioni.
g(f(n))= f(n) # s(n') = f(s(n')) che è:
Un'applicazione suriettiva.
Un'applicazione iniettiva.
Mi manca da verificare che sia un omomorfismo, ma qui ho qualche problema, perchè faccio:
(considero h(n) un altro elemento di H)
g(f(n)#h(n)) = [f(n)#h(n)]#s(n')=f(h(s(n')))=f(n)#h(n)#s(n')= f(n)#g(h(n))
Alla fine non riesco a dimostrare che è un omomorfismo. Mi manca qualche passaggio, devo ricorrere a qualche trucco? O devo cercare un'altra applicazione?
Non ho capito come è definita l'applicazione.
Non puoi semplicemente definire $S_9 \to H$ mandando ogni elemento in se stesso?
Non puoi semplicemente definire $S_9 \to H$ mandando ogni elemento in se stesso?
Ma se mando ogni elemento in sè stesso l'applicazione non è S9--->S9?
Puoi vedere ogni elemento $g$ di $S_9$ come un elemento di $S_10$ ponendo $g(10)=10$.
Ci avevo pensato, però temevo che ciò creasse problemi con l'insieme di definizione.
Cioè: è possibile fare come tu scrivi? Non sto così facendo rendendo g un elemento di S10 e non di S9?
Perchè se ho ad esempio A insieme di permutazioni di 9 elementi, la permutazione del 10 non è definita. Se io inserisco la permutazione del 10 in 10, come in questo caso, non sto cambiando totalmente permutazione? Perchè dovrebbe rimanere la stessa?
Pongo meglio la domanda, che magari è una lacuna mia.
La permutazione 1,2,3,4 ---> 2,1,4,3 è uguale alla permutazione 1,2,3,4,5 ----> 2,1,4,3,5 che è sempre uguale a 1,2,3,4,5,6---> 2,1,4,3,5,6 ?
Cioè: è possibile fare come tu scrivi? Non sto così facendo rendendo g un elemento di S10 e non di S9?
Perchè se ho ad esempio A insieme di permutazioni di 9 elementi, la permutazione del 10 non è definita. Se io inserisco la permutazione del 10 in 10, come in questo caso, non sto cambiando totalmente permutazione? Perchè dovrebbe rimanere la stessa?
Pongo meglio la domanda, che magari è una lacuna mia.
La permutazione 1,2,3,4 ---> 2,1,4,3 è uguale alla permutazione 1,2,3,4,5 ----> 2,1,4,3,5 che è sempre uguale a 1,2,3,4,5,6---> 2,1,4,3,5,6 ?
Non è uguale. Le cose che hai detto sono giuste. Ma io parlavo dell'idea da formalizzare.
Eccola formalizzata: definisci $S_9 \to H$ mandando $g$ nella permutazione $f \in H$ definita come segue: $f(x)=g(x)$ per $x=1,\ldots,9$ e $f(10)=10$.
Eccola formalizzata: definisci $S_9 \to H$ mandando $g$ nella permutazione $f \in H$ definita come segue: $f(x)=g(x)$ per $x=1,\ldots,9$ e $f(10)=10$.
Ah ok perfetto! Così facendo ho definito la permutazione in 10.
Ok, ora ho che S9-->H è un'applicazione biettiva, per mostrare che è un omomorfismo come faccio?
Edit: Credo di avere risolto, chiedo se i passaggi e il ragionamento sono corretti.
Chiamo l'applicazione S9-->H h(g(x))
Dunque ho h(g(x)) = f(x) = g(x)
Faccio vedere che è un omomorfismo:
h(g(x) # g'(x))= g(x) # g'(x) = h(g(x)) # h(g'(x))
Ok, ora ho che S9-->H è un'applicazione biettiva, per mostrare che è un omomorfismo come faccio?
Edit: Credo di avere risolto, chiedo se i passaggi e il ragionamento sono corretti.
Chiamo l'applicazione S9-->H h(g(x))
Dunque ho h(g(x)) = f(x) = g(x)
Faccio vedere che è un omomorfismo:
h(g(x) # g'(x))= g(x) # g'(x) = h(g(x)) # h(g'(x))
Sì credo che ci siamo capiti 
Perfetto, grazie mille sei stato disponibilissimo!
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