Aiuto Esercizi sulle Permutazioni

[Davide1986]

Salve ho un esercizio di questo tipo :

Siano date le permutazioni :

$ f = ((1,2,3,4,5,6),(6,1,2,4,5,3))$ e $ g = ((1,2,3,4,5,6),(3,2,1,6,5,4))$

Calcolare $g^(-2)$ come posso procedere?! aiutino ?

Io so calcolarmi la $g^(-1)$ nella seguente maniera :

$ g^(-1) = ((3,2,1,6,5,4),(1,2,3,4,5,6))$

Preso da testo di esame http://www.dia.uniroma3.it/~dispense/murciano/compiti%20combinatoria%20matematica%20discreta/B%2022%20novembre%202005.jpg

[Kashaman]

ehm, possiamo ragionare in termini di cicli disgiunti? è più semplice.
$g^(-1)$ l'hai scritta male. Riordinala!!!!!
i termini della prima riga devono essere ordinati del tipo $1 2 3 4 ....$
secondo,
$g^(-2)=(g^2)^-1$
dov'è la difficoltà?
calcoli prima $g^2$ (che ti ricordo che è la composizione di $g$ per se stessa fatta due volte)
e poi ti calcoli l'inversa di $g^2$

[Davide1986]

Quindi se ho capito bene devo fare :

Se la scrivo bene $g^(-1) = ((1,2,3,4,5,6),(3,2,1,6,5,4)) $ ma cosi mi ritorna quella di partenza .

$g*g = g^(2) =?$

[Kashaman]

beh è normale.
in cicli disgiunti diventa $g=(1,3)(2)(4,6)=g^-1$
pertanto $g*g=g^2=g*g^-1=id$ ne segue allora che $g^2=id$ (cosa si può dire sul periodo di $g$?)
pertanto
$(g^2)^(-1)=id^-1=id$

[Kashaman]

in parole povere se ti esce uguale $g$ coincide con la sua inversa. E quindi $g^2$ è l'identità , ed essendo l'inversa dell'identià l'identità stessa ne segue che $(g^2)^-1=id$

Ti propongo un'esercizio, vediamo se hai capito.
Consideriamo $S_5$ e $\sigma in S_5$ con
$\sigma=((1,2,3,4,5),(2,3,4,1,5))$
calcolare
a) $\sigma^(-1)$
b) calcolare il periodo di $\sigma$. Quanti elementi ha il sottogruppo generato da $\sigma$? è ciclico?
c) decomporre $\sigma $ in cicli disgiunti.
d) cosa si può dire del periodo di $\sigma^-1$?