Aiuto dimostrazione sup insieme log

[DR1]

Come si procede, nel dover dimostrare che
$log_a y = "sup" { r in RR : a^r <= y }$
Vorrei capire il ragionamento da fare passo, per passo
suppongo che per prima cosa dovrei capire come è fatto l'insieme ${ r in RR : a^r <= y }$
Giusto ?

[vict85]

Che definizione ha \(\log_a y\) ? Prima di poter dimostrare qualcosa devi avere ben chiare le definizioni.

[DR1]

$a,y in RR^(>0),a != 1$
$EE! x in RR : a^x = y$
quindi. $log_a y =x$
giusto ?
poi ?

[DR1]

Devo fissare un valore di $y$ ?
Finora ho
Posto $A = {r in RR : a^r <=y}$
$ B = { a^r : a in A } $ insieme dei maggioranti, giusto ?
Come dimostro che $A$ è superiormente limitato e che $"sup" A = log_a y$ ?

vorrei capire, come dato un insieme si dimostra che $"sup" Z = y$

[vict85]

Si, il problema è che mi sembra tautologico. Insomma, siccome \(x\mapsto a^x\) è monotono crescente allora si tratta semplicemente di passare dal reale alla sezione di Dedekind.

[DR1]

Quindi, $AA r in A" " AA a^r in B" " E c : r < c < a^r " "AA r in A" " AA a^r in B$
da qui, come dimostro, che $ c = "sup" A = log_a y $ ?