Aiuto dimostrazione su gruppi abeliani
Ciao, stavo provando a fare un esercizio in cui è richiesta una dimostrazione su i gruppi abeliani
ma non so da dove cominciare e ho paura che non sia per colpa dell'ora.
Posto il testo sperando che qualcuno mi dia uno spunto per farlo.
Sia G un gruppo abeliano fi nito e siano $a_1,a_2, ...,a_n$ i suoi elementi.
Dimostrare che $x = a_1*a_2*...*a_n$ è un elemento tale che $x^2 = e$,
dove $e$ è l'elemento neutro di G.
Grazie in anticipo
ma non so da dove cominciare e ho paura che non sia per colpa dell'ora.
Posto il testo sperando che qualcuno mi dia uno spunto per farlo.
Sia G un gruppo abeliano fi nito e siano $a_1,a_2, ...,a_n$ i suoi elementi.
Dimostrare che $x = a_1*a_2*...*a_n$ è un elemento tale che $x^2 = e$,
dove $e$ è l'elemento neutro di G.
Grazie in anticipo
Risposte
Rifletti che un gruppo contiene i simmetrici di tutti suoi elementi. Siccome nel tuo prodotto compaiono una sola volta tutti gli elementi di G allora tutti gli elementi $ a \in G $ tali che $ a \ne a^{-1} $ moltiplicati con i rispettivi simmetrici fanno 1 (in un certo senso li puoi cancellare) e chi rimane? Gli elementi tali che $ a=a^{-1} $ , uguaglianza che si può scrivere anche in una altro modo... 
Innanzitutto ti ringrazio...
Riprendendo molto di quello che hai detto tuo quindi potrei scrivere la seguente dimostrazione:
$x=a_1 * a_2 * .... * a_n$ è formato moltiplicando tutti gli elementi del gruppo tra loro presi una sola volta.
Sappiamo inoltre che in un gruppo per ogni elemento del gruppo è presente il suo inverso, inoltre anche $e$
è un elemento del gruppo.
Poichè $a_i*a_i^(-1)=1$ allora $x=e*a_1*a_1^(-1)*....*a_n*a_n^(-1) rArr x=e*1*...*1 rArr x=e$ .
Si conclude la dimostrazioene dicendo che: elevando al quadrato si ha
$x^2=e^2 = e*e = e$
Spero di non aver scritto fesserie.
Riprendendo molto di quello che hai detto tuo quindi potrei scrivere la seguente dimostrazione:
$x=a_1 * a_2 * .... * a_n$ è formato moltiplicando tutti gli elementi del gruppo tra loro presi una sola volta.
Sappiamo inoltre che in un gruppo per ogni elemento del gruppo è presente il suo inverso, inoltre anche $e$
è un elemento del gruppo.
Poichè $a_i*a_i^(-1)=1$ allora $x=e*a_1*a_1^(-1)*....*a_n*a_n^(-1) rArr x=e*1*...*1 rArr x=e$ .
Si conclude la dimostrazioene dicendo che: elevando al quadrato si ha
$x^2=e^2 = e*e = e$
Spero di non aver scritto fesserie.
Sbagliato 
Rileggi meglio quello che ti ho scritto... non è detto che $ a^{-1} $ sia diverso da $ a $ ed in questo caso siccome $ a $ compare una sola volta non lo puoi cancellare quindi $ x $ non è per forza uguale ad $ e $, ma è uguale al prodotto di tutti gli elementi che hanno la proprietà $ a=a^{-1} $ che equivale a dire $ a^2=e $ . E se $ x $ è un prodotto di elementi siffatti cosa ne deduci? $ x^2=a_1^2a_2^2...=e \cdot e \cdot ... = e $ Detto un pò meglio... $ x $ è uguale al prodotto degli elementi di $ G $ di periodo 2 e pertanto ha periodo 2 (ma non so se sai cos'è il periodo)
Rileggi meglio quello che ti ho scritto... non è detto che $ a^{-1} $ sia diverso da $ a $ ed in questo caso siccome $ a $ compare una sola volta non lo puoi cancellare quindi $ x $ non è per forza uguale ad $ e $, ma è uguale al prodotto di tutti gli elementi che hanno la proprietà $ a=a^{-1} $ che equivale a dire $ a^2=e $ . E se $ x $ è un prodotto di elementi siffatti cosa ne deduci? $ x^2=a_1^2a_2^2...=e \cdot e \cdot ... = e $ Detto un pò meglio... $ x $ è uguale al prodotto degli elementi di $ G $ di periodo 2 e pertanto ha periodo 2 (ma non so se sai cos'è il periodo)
ma quindi in un certo senso mi stai dicendo che nella dimostrazione devo far vedere tutti e due i casi?
Cioè $x=a_1*a_2*...*a_n$ si ha che se $a_i!=a_i^(-1) rArr x=a_1*a_2*...*a_n*1*...*1$ con $a_i=a_i^(-1) AA a_i $
ora moltiplicando per $x$ ottengo $x^2=(a_1*a_2*...*a_n*1*...*1)*(a_1*a_2*...*a_n*1*...*1) rArr x^2=a_1^(2)*a_2^(2)*...*a_n^(2)$ e ora poichè $a_i^2=e rArr x^2=e*e*...*e=e$
Cioè $x=a_1*a_2*...*a_n$ si ha che se $a_i!=a_i^(-1) rArr x=a_1*a_2*...*a_n*1*...*1$ con $a_i=a_i^(-1) AA a_i $
ora moltiplicando per $x$ ottengo $x^2=(a_1*a_2*...*a_n*1*...*1)*(a_1*a_2*...*a_n*1*...*1) rArr x^2=a_1^(2)*a_2^(2)*...*a_n^(2)$ e ora poichè $a_i^2=e rArr x^2=e*e*...*e=e$
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