Aiuto dimostrazione disuguaglianza
$AA$ n,m $in$ $NN$ \ {0} $EE$ p $in$ $NN$ | pm$>=$m.
La mia dimonstrazione:
siccome m$!=$0 si ha p$>=$$n/m$ , essendo n$!=$0 $n/m$>0 sicuramente $n/m$=p; qui mi sono bloccato.
Come dimostro che oltre a $n/m$=p vale anche $n/m$$<=$p ?
La mia dimonstrazione:
siccome m$!=$0 si ha p$>=$$n/m$ , essendo n$!=$0 $n/m$>0 sicuramente $n/m$=p; qui mi sono bloccato.
Come dimostro che oltre a $n/m$=p vale anche $n/m$$<=$p ?
Risposte
L'enunciato è questo :
$AA n,m in NN \\{0} EE p in NN | p*m>=n$?
Vediamo...
Usiamo questo
lemma $NN$ non è limitato superiormente. Ergo l'insieme dei maggioranti di $NN$ è l'insieme vuoto.
dim teorema Procediamo per assurdo.
Supponiamo $n,m ,p>0$ e che $ p*mlemma
penso sia tutto corretto
$AA n,m in NN \\{0} EE p in NN | p*m>=n$?
Vediamo...
Usiamo questo
lemma $NN$ non è limitato superiormente. Ergo l'insieme dei maggioranti di $NN$ è l'insieme vuoto.
dim teorema Procediamo per assurdo.
Supponiamo $n,m ,p>0$ e che $ p*m
penso sia tutto corretto
Grazie per la risposta Kashaman 
Probabilmente ai frainteso il simbolo \{0} la " \" non vuol dire tale che(cioè "|")
ma differenza che in questo caso essendo l'insieme vuoto {0} contenuto nell''insieme $NN$(cioè $NN$$supe${0})
si può indicare anche con $C_ N${0} (complementare di B rispetto ad a);
per farla breve intendevo {0} escluso da $NN$.
P.S. spero di essere stato chiaro questa volta
aspetto tua risposta...
Probabilmente ai frainteso il simbolo \{0} la " \" non vuol dire tale che(cioè "|")
ma differenza che in questo caso essendo l'insieme vuoto {0} contenuto nell''insieme $NN$(cioè $NN$$supe${0})
si può indicare anche con $C_ N${0} (complementare di B rispetto ad a);
per farla breve intendevo {0} escluso da $NN$.
P.S. spero di essere stato chiaro questa volta
aspetto tua risposta...
La dimostrazione te l'ho fornita . L'espressione ${0}$ si intende l'insieme formato dall'elemento $0$ e non l'insieme vuoto.
E per $NN\\{0}$ ho inteso $NN$ meno l'elemento zero (differenza tra insiemi). (anche perché che senso avrebbe dire $NN$ meno l'insieme vuoto scusa?!).
L'asserto che vuoi dimostrare , si può tradurre nel linguaggio corrente come :
Per ogni $n,m$ positivi (naturali) esiste (sempre) un $p$ positivo (naturale) tale che $p*m>=n$
che tradotto in linguaggio matematico si può scrivere anche
$AA n.m in NN $ con $ n>0 , m >0 $ $ EE p >0 | p*m>=n$
Questo è un risultato abbastanza importante e noto, e la sua dimostrazione sfrutta il fatto che $NN$ è un insieme infinito limitato inferiormente ma non limitato superiormente, cioè detto terra terra non esiste l'intero $n in NN$ più grande in assoluto, ma possiamo dire che esiste il più piccolo, lo zero. (in più , una piccola nota, possiamo parlare in questi termini perché $NN$ è ordinato )
Come si dimostra? Semplice, sfruttando proprio questo fatto qua.
Inoltre ti consiglierei di rivedere un po' di analisi, cosa si intende per maggiorante di un insieme $A$? Appurato questo , la dimostrazione diventa semplice.
Visualizziamo il teorema.
Come ipotesi hai che $n.m in NN$ tutti strettamente positivi.
come tesi hai che $EE p>0 |p*m>=n$
Dunque hai un "teorema della forma $A=>B$ , sei d'accordo?
bene.
Ora dobbiamo scegliere una tecnica dimostrativa. La più comoda è quella per assurdo.
Cioè si opera in questo modo.
Neghiamo la tesi , assumiamo le ipotesi come tali per giungere ad un assurdo.
dim Supponendo per assurdo che $AA p >0 : p*m p
E per $NN\\{0}$ ho inteso $NN$ meno l'elemento zero (differenza tra insiemi). (anche perché che senso avrebbe dire $NN$ meno l'insieme vuoto scusa?!).
L'asserto che vuoi dimostrare , si può tradurre nel linguaggio corrente come :
Per ogni $n,m$ positivi (naturali) esiste (sempre) un $p$ positivo (naturale) tale che $p*m>=n$
che tradotto in linguaggio matematico si può scrivere anche
$AA n.m in NN $ con $ n>0 , m >0 $ $ EE p >0 | p*m>=n$
Questo è un risultato abbastanza importante e noto, e la sua dimostrazione sfrutta il fatto che $NN$ è un insieme infinito limitato inferiormente ma non limitato superiormente, cioè detto terra terra non esiste l'intero $n in NN$ più grande in assoluto, ma possiamo dire che esiste il più piccolo, lo zero. (in più , una piccola nota, possiamo parlare in questi termini perché $NN$ è ordinato )
Come si dimostra? Semplice, sfruttando proprio questo fatto qua.
Inoltre ti consiglierei di rivedere un po' di analisi, cosa si intende per maggiorante di un insieme $A$? Appurato questo , la dimostrazione diventa semplice.
Visualizziamo il teorema.
Come ipotesi hai che $n.m in NN$ tutti strettamente positivi.
come tesi hai che $EE p>0 |p*m>=n$
Dunque hai un "teorema della forma $A=>B$ , sei d'accordo?
bene.
Ora dobbiamo scegliere una tecnica dimostrativa. La più comoda è quella per assurdo.
Cioè si opera in questo modo.
Neghiamo la tesi , assumiamo le ipotesi come tali per giungere ad un assurdo.
dim Supponendo per assurdo che $AA p >0 : p*m
Mi sembra che sia più semplice procedere "costruttivamente" scegliendo [tex]p=n[/tex]. La disuguaglianza [tex]mn \geq n[/tex] è ovvia.
hai ragione Martino.. diciamo che a livello intuitivo è bellissima la tua.
Elementare e capibile senza troppe nozioni. Ammetto che la mia forse, usava un po troppi risultati non proprio elementari che forse non servivano
.
Elementare e capibile senza troppe nozioni. Ammetto che la mia forse, usava un po troppi risultati non proprio elementari che forse non servivano
.
Grazie a tutti! La dimostazione e chiara anche se può essere >0 intendevo solo per m e n, quindi può essere p=0 
Si deve per forza o basta dimostrare che $EE$ almeno una p che non soddisfa l'espressione?
"Kashaman":
Ora dobbiamo scegliere una tecnica dimostrativa
Si deve per forza o basta dimostrare che $EE$ almeno una p che non soddisfa l'espressione?
Non può essere $p =0$ se per ipotesi assumi $n,m in NN\\{0}$
Perché avresti che $0>=n$ e ci sono due casi, o $n<0$ e quindi $n$ non appartiene a $NN$ oppure $n=0$ ma non è vero per ipotesi.
Per dire che una cosa non è vera ti basta un controesempio.
Prendi ad esempio questo falso teorema.
"Qualsiasi multiplo di $3$ non è pari".
Per sfatarlo ti basta prendere sei e vedere che sei è divisibile per due.
In questo caso non puoi far un controesempio, visto che il teorema è vero. E le dimostrazioni che ti abbiamo fornito sono entrambe valide.
Quella di Martino è intuitiva, e dimostra l'esistenza di $p$ in maniera pratica. Infatti , per avere la tesi $p*m>=n$ basta prendere $p=n$. (diciamo che sfrutta il fatto che $NN$ è ordinato e che $n*m= m+m+....m$ {n volte } è sicuramente maggiore di $n$.
La mia invece sotto intende principalmente un po di cose. Cioè la nozione di insieme limitato, limitato sup , limitato inf , maggiorante , minorante.. e il lemma $NN$ non è limitato superiormente. Un po più articolata, ma penso comunque valida
spero di esser stato chiaro ed esaustivo, a presto
PS si alla fine una tecnica dimostrativa devi sceglierla... alla fine , per questo tipo di problemi ne sono essenzialmente 3.
Supponi di avere $A$ e $B$ proposizioni . E un teorema del tipo $A=>B$ (diciamo che $A$ è la nostre ipotesi e $B$ le tesi.)
Esistono tre approcci dimostrativi.
Approccio diretto
cioè parti dalle ipotesi per arrivare alla tesi (cioè parti da $A$ e arrivi a $B$),
approccio "indiretto", cioè dimostri un enunciato equivalente, cioè del tipo " non $B$ $=>$ non $A$ ".
Approccio per assurdo.
neghi $B$ , usando le ipotesi $A$ invariate per arrivare ad un assurdo $C$. (quello che ho fatto io)
Perché avresti che $0>=n$ e ci sono due casi, o $n<0$ e quindi $n$ non appartiene a $NN$ oppure $n=0$ ma non è vero per ipotesi.
Per dire che una cosa non è vera ti basta un controesempio.
Prendi ad esempio questo falso teorema.
"Qualsiasi multiplo di $3$ non è pari".
Per sfatarlo ti basta prendere sei e vedere che sei è divisibile per due.
In questo caso non puoi far un controesempio, visto che il teorema è vero. E le dimostrazioni che ti abbiamo fornito sono entrambe valide.
Quella di Martino è intuitiva, e dimostra l'esistenza di $p$ in maniera pratica. Infatti , per avere la tesi $p*m>=n$ basta prendere $p=n$. (diciamo che sfrutta il fatto che $NN$ è ordinato e che $n*m= m+m+....m$ {n volte } è sicuramente maggiore di $n$.
La mia invece sotto intende principalmente un po di cose. Cioè la nozione di insieme limitato, limitato sup , limitato inf , maggiorante , minorante.. e il lemma $NN$ non è limitato superiormente. Un po più articolata, ma penso comunque valida
spero di esser stato chiaro ed esaustivo, a presto
PS si alla fine una tecnica dimostrativa devi sceglierla... alla fine , per questo tipo di problemi ne sono essenzialmente 3.
Supponi di avere $A$ e $B$ proposizioni . E un teorema del tipo $A=>B$ (diciamo che $A$ è la nostre ipotesi e $B$ le tesi.)
Esistono tre approcci dimostrativi.
Approccio diretto
cioè parti dalle ipotesi per arrivare alla tesi (cioè parti da $A$ e arrivi a $B$),
approccio "indiretto", cioè dimostri un enunciato equivalente, cioè del tipo " non $B$ $=>$ non $A$ ".
Approccio per assurdo.
neghi $B$ , usando le ipotesi $A$ invariate per arrivare ad un assurdo $C$. (quello che ho fatto io)
Grazie Kashaman sta diventando tutto sempre più chiaro
prego . piccola nota , Il teoremetto che abbiamo appena dimostrato si chiama proprietà archimedea di $NN$
ti propongo un'altro piccolo teorema , tanto per far esercizio, da dimostrare. Provaci.
Sia $a in RR$ , $a>=0$ tale che $AA n in NN , n!=0 : a<=1/n$ Allora $a=0$
se proprio non hai idee , piccolo hint (guardalo solo dopo averci ragionato)
. piccola nota , Il teoremetto che abbiamo appena dimostrato si chiama proprietà archimedea di $NN$ti propongo un'altro piccolo teorema , tanto per far esercizio, da dimostrare. Provaci.
Sia $a in RR$ , $a>=0$ tale che $AA n in NN , n!=0 : a<=1/n$ Allora $a=0$
se proprio non hai idee , piccolo hint (guardalo solo dopo averci ragionato)
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