Aiuto con un isomorfismo di anelli!
Devo verificare se è vero che il campo dei complessi $C$ è isomorfo a $R[x]$/$(x^2+1)$ dove $(x^2+1)$ è l'ideale generato da $x^2+1$.
A logica io direi di si visto che sarebbe come prendere R[x] e moltiplicarlo per polinomi che hanno soluzione complessa più o meno $i$. Però non riesco a dimostrarlo. Ho provato anche con il teorema fondamentale di omomorfismi per anelli ma non riesco a trovare l'applicazione giusta! Qualcuno può aiutarmi?? Grazie!
A logica io direi di si visto che sarebbe come prendere R[x] e moltiplicarlo per polinomi che hanno soluzione complessa più o meno $i$. Però non riesco a dimostrarlo. Ho provato anche con il teorema fondamentale di omomorfismi per anelli ma non riesco a trovare l'applicazione giusta! Qualcuno può aiutarmi?? Grazie!
Risposte
Ciao. 
Allora, siccome $x^2+1$ è irriducibile in $RR[x]$ l'ideale principale $(x^2+1)$ è massimale e dunque il quoziente $RR[x]//(x^2+1)$ è un campo. Sai dirmi come sono fatti gli elementi di tale campo? Quali sono i rappresentanti buoni nel quoziente?
Allora, siccome $x^2+1$ è irriducibile in $RR[x]$ l'ideale principale $(x^2+1)$ è massimale e dunque il quoziente $RR[x]//(x^2+1)$ è un campo. Sai dirmi come sono fatti gli elementi di tale campo? Quali sono i rappresentanti buoni nel quoziente?
Credo siano tutti gli elementi della forma $(a0 + a1x+ ------+anx^2+-----)*(x^2+1)$. O sbaglio??
Credo siano tutti gli elementi della forma ($a0 + $a1x+ ------+$anx^2$+-----)*($x^2+1)$.
O sbaglio??
O sbaglio??
Purtroppo non si legge granchè quello che hai scritto. Prova a dare un'occhiata qui: formule .
E il simbolo di dollaro mettilo solo una volta (così $x^2+1$).
Dai prova a ripostare correttamente.
E il simbolo di dollaro mettilo solo una volta (così $x^2+1$).
Dai prova a ripostare correttamente.
Si scusa XD
Allora dicevo che secondo me sono tutti gli elementi della forma $P*(x^2 + 1)$ ove P è un elemento di $R[x]$. Però ripensandoci credo che quello sia semplicemente l'ideale stesso!
Mmm potrebbe essere $R$? Il problema è che non riesco proprio a costruirlo! -.- Scusa ma sono proprio una frana sulla parte della teoria degli anelli!
Allora dicevo che secondo me sono tutti gli elementi della forma $P*(x^2 + 1)$ ove P è un elemento di $R[x]$. Però ripensandoci credo che quello sia semplicemente l'ideale stesso!
Mmm potrebbe essere $R$? Il problema è che non riesco proprio a costruirlo! -.- Scusa ma sono proprio una frana sulla parte della teoria degli anelli!
Calma, calma.
Allora, partiamo proprio dal principio. Conosci l'anello $ZZ_n$? Immagino di sì: è l'anello delle classi di resto modulo $n$. Ti faccio notare che $ZZ_n = ZZ//(n)$ dove $(n)$ denota l'ideale principale generato da $n$. In questo anello quoziente, i rappresentanti buoni sono i numeri da $0$ a $n-1$: immagino tu sappia perchè. Voglio dire $12=5$ in $ZZ_7$. Ciò si può affermare dicendo che ogni elemento è in relazione con il suo resto nella divisione per $n$.
Questo per quanto riguarda $ZZ$. Il bello è che la stessa cosa si può trasportare agli anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Tu prendi $RR[x]$ e $(x^2+1)$: nell'anello quoziente (che poi abbiamo già osservato essere un campo) $RR[x]//(x^2+1)$ quali sono i rappresentanti buoni?
Prima ogni numero era in relazione con il suo resto modulo $n$, qui ogni polinomio di $RR[x]$ è in relazione con il suo resto nella divisione per $x^2+1$. Immagino però che tu sappia una nota proprietà che lega il grado del polinomio resto con il grado del polinomio divisore: quale?
Allora, partiamo proprio dal principio. Conosci l'anello $ZZ_n$? Immagino di sì: è l'anello delle classi di resto modulo $n$. Ti faccio notare che $ZZ_n = ZZ//(n)$ dove $(n)$ denota l'ideale principale generato da $n$. In questo anello quoziente, i rappresentanti buoni sono i numeri da $0$ a $n-1$: immagino tu sappia perchè. Voglio dire $12=5$ in $ZZ_7$. Ciò si può affermare dicendo che ogni elemento è in relazione con il suo resto nella divisione per $n$.
Questo per quanto riguarda $ZZ$. Il bello è che la stessa cosa si può trasportare agli anelli di polinomi a coefficienti in un campo. Tu prendi $RR[x]$ e $(x^2+1)$: nell'anello quoziente (che poi abbiamo già osservato essere un campo) $RR[x]//(x^2+1)$ quali sono i rappresentanti buoni?
Prima ogni numero era in relazione con il suo resto modulo $n$, qui ogni polinomio di $RR[x]$ è in relazione con il suo resto nella divisione per $x^2+1$. Immagino però che tu sappia una nota proprietà che lega il grado del polinomio resto con il grado del polinomio divisore: quale?
Si perchè qualunque altro elemento io prenda sarà già nella classe di equivalenza di uno dei rappresentanti buoni.
Il polinomio resto deve per forza avere grado strettamente minore del polinomio divisore... Quindi sono i polinomi di grado al più uno che dividono $x^2+1$??
Il polinomio resto deve per forza avere grado strettamente minore del polinomio divisore... Quindi sono i polinomi di grado al più uno che dividono $x^2+1$??
Sì, bravo\a, ci sei quasi.
Diciamo che i rappresentanti buoni sono i polinomi di primo grado e stop. In definitiva, un elemento del quoziente (un laterale come si chiama di solito) è una roba del tipo $ax+b+(x^2+1)$.
Hai capito fin qui? Capito questo è fatta
Diciamo che i rappresentanti buoni sono i polinomi di primo grado e stop. In definitiva, un elemento del quoziente (un laterale come si chiama di solito) è una roba del tipo $ax+b+(x^2+1)$.
Hai capito fin qui? Capito questo è fatta
Si ok perchè si tratta dell'insieme delle classi di equivalenza x+I = {x + i: i è in I}. In questo caso I è proprio $x^2+1$ e quindi l'espressione $ax+b+(x^2+1)$ mi torna. Quindi abbiamo trovato che i rappresentanti di R[x]/$(x^2 + 1)$ sono della forma $ax+b+(x^2+1)$. Però ora come faccio a dire che questi sono proprio gli elementi di C?
Scusa avevo sbagliato a scrivere! Sono i rappresentanti di R[x]/$(x^2+1)$ e non di R[x] ^^'''
Sei d'accordo con me quindi sul fatto che in $RR[x]//(x^2+1)$ ci sono (solo) elementi della forma $ax+b+(x^2+1)$.
Bene, adesso è fatta: prova a considerare l'applicazione $phi: RR[x]//(x^2+1) to CC$ così definita [tex]ax+b+(x^2+1) \mapsto ai+b[/tex].
Bene, adesso è fatta: prova a considerare l'applicazione $phi: RR[x]//(x^2+1) to CC$ così definita [tex]ax+b+(x^2+1) \mapsto ai+b[/tex].
Ok allora ho verificato che è un omomorfismo di anelli e ho trovato che il kernel è proprio il solo elemento $x^2+1$. Quindi per il teorema fondamentale di omomorfismo posso dire $C=R[x]$/$(x^2+1)$.
Giusto?
Giusto?
No, non devi passare dal I teorema di isomorfismo. Il dominio dell'applicazione $phi$ è già il quoziente! Devi solo provare che è un omomorfismo di anelli e che è biettivo.
Ok! Grazie mille! Veramente! Sei stato gentilissimo! (e paziente XD)
Figurati, è stato un piacere.
Se hai ancora bisogno sai dove siamo.
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