Aiuto con omomorfismi di gruppo
Salve, mi chiamo Antonio e sono un nuovo utente e anche se questo è il mio primo post, leggo da diverso tempo il forum.
Un problema di algebra a cui non ho trovato una soluzione soddisfacente su internet mi ha infine convinto a iscrivermi, spero che possiate aiutarmi a capire.
Il problema è il seguente, come faccio a determinare gli omomorfismi tra due gruppi ? Come si costruisce la tabella algebrica che mi permette di calcolarli ? Mi riferisco sia a quando il primo gruppo è ciclico sia a quando non lo è.
Per esempio se abbiamo il gruppo $ (Z8, X) $ e $ (Z5 +) $ come faccio a trovare gli omomorfismi ?
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
Un problema di algebra a cui non ho trovato una soluzione soddisfacente su internet mi ha infine convinto a iscrivermi, spero che possiate aiutarmi a capire.
Il problema è il seguente, come faccio a determinare gli omomorfismi tra due gruppi ? Come si costruisce la tabella algebrica che mi permette di calcolarli ? Mi riferisco sia a quando il primo gruppo è ciclico sia a quando non lo è.
Per esempio se abbiamo il gruppo $ (Z8, X) $ e $ (Z5 +) $ come faccio a trovare gli omomorfismi ?
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto.
Risposte
Non e' difficile dimostrare questo:
Se $G$ e $H$ sono due gruppi finiti con $mcd(\#G,\#H)=1$,
allora l'unico omomorfismo $G\rightarrow H$ e' quello banale.
Se $G$ e $H$ sono due gruppi finiti con $mcd(\#G,\#H)=1$,
allora l'unico omomorfismo $G\rightarrow H$ e' quello banale.
Ciao, grazie per avermi risposto, in effetti mi era sfuggito che il numero di omomorfismi è il mcd.
Mi servirebbe comunque sapere come costruire la tabella algebrica e poi come leggerla.
Mi riferisco alla tabella dove, nel caso di gruppo ciclico, nella prima collonna si inserisce un generatore e le sue potenze e nella prima riga gli elementi del codominio, avete presente ?
Inoltre nel caso il primo gruppo non sia ciclico, so che il teorema dell'ordine afferma che
ordine del dominio= ordine del nucleo x ordine dell'immagine.
Ora nel caso di, per esempio, $ (Z8 X) $ e $ (z6 +) $ , il primo è un gruppo non ciclico costituito dai seguenti elementi $ 1,3,5,7 $ e $ Z6 $ è invece costituito da $ 0,1,2,3,4,5 $.
Ora i sottogruppi di z6 sono $ (0) $ , $ (0,3) $, $ (0,2,4) $ e $ Z6 $ . I sottogruppi di $ Z8 $ sono $ (1) $ , $ (1,3) $ , $ (1,5) $ e $ (1,7) $ .
Ora l'ordine del dominio è 4, quindi escludendo l'omomorfismo banale (4x1), l'ordine del nucleo deve essere 2 così come quello dell'immagine,ma nel caso dell'immagine abbiamo abbiamo 3 possibili candidati. Come faccio a capire qual'è ?
Come si costruiscono inoltre i laterali dei nuclei ?
Grazie a tutti per l'aiuto.
Mi servirebbe comunque sapere come costruire la tabella algebrica e poi come leggerla.
Mi riferisco alla tabella dove, nel caso di gruppo ciclico, nella prima collonna si inserisce un generatore e le sue potenze e nella prima riga gli elementi del codominio, avete presente ?
Inoltre nel caso il primo gruppo non sia ciclico, so che il teorema dell'ordine afferma che
ordine del dominio= ordine del nucleo x ordine dell'immagine.
Ora nel caso di, per esempio, $ (Z8 X) $ e $ (z6 +) $ , il primo è un gruppo non ciclico costituito dai seguenti elementi $ 1,3,5,7 $ e $ Z6 $ è invece costituito da $ 0,1,2,3,4,5 $.
Ora i sottogruppi di z6 sono $ (0) $ , $ (0,3) $, $ (0,2,4) $ e $ Z6 $ . I sottogruppi di $ Z8 $ sono $ (1) $ , $ (1,3) $ , $ (1,5) $ e $ (1,7) $ .
Ora l'ordine del dominio è 4, quindi escludendo l'omomorfismo banale (4x1), l'ordine del nucleo deve essere 2 così come quello dell'immagine,ma nel caso dell'immagine abbiamo abbiamo 3 possibili candidati. Come faccio a capire qual'è ?
Come si costruiscono inoltre i laterali dei nuclei ?
Grazie a tutti per l'aiuto.
il numero di omomorfismi è il mcd
E' vero per gruppi ciclici, ma in generale e' falso. Ci sono per esempio
$4$ omomorfismi da $ZZ_8^{\times}$ al gruppo additivo $ZZ_2$
l'ordine del nucleo deve essere 2 così come quello dell'immagine,
ma nel caso dell'immagine abbiamo abbiamo 3 possibili candidati.
Come faccio a capire qual'è ?
?? Ma solo un candidato ha ordine $2$ $\ldots$
Scusami ma non capisco, l'ordine di un gruppo finito non è il numero degli elementi che costituiscono il gruppo ? In questo caso i sottogruppi di Z8 sono tutti di ordine 2. (1,3), (1,7) e (1,5).
Stiamo parlando di omomorfismi $ZZ_8^{\times}\rightarrow \ZZ_6$, giusto?
Allora l'immagine non sta in $ZZ_8^{\times}$ ma in $ZZ_6$.
Allora l'immagine non sta in $ZZ_8^{\times}$ ma in $ZZ_6$.
Giusto hai ragione, quindi in questo caso i nuclei quali sono visto che ci sono 3 sottogruppi di ordine 2 ? E nel caso si fosse trattato dell'esempio inverso quindi $ Z6 -> Z8 $ avrei avuto 3 potenziali immagini.
Purtroppo i libri che ho acquistato non mi hanno aiutato. Su internet ho letto che nel caso di gruppi ciclici si costruisce una tabella algebrica, ho capito come costruirla ma non so come leggere i risultati, quindi come riconoscere gli omomorfismi.
Nel caso di gruppi non ciclici come quello dell'esempio postato non capisco come riconoscere i nucli e l'immagini come quando ci sono più candidati. In tal caso l'ordine del dominio è 4 quindi 4=4x1 omomorfismo banale e 4=2x2
Purtroppo i libri che ho acquistato non mi hanno aiutato. Su internet ho letto che nel caso di gruppi ciclici si costruisce una tabella algebrica, ho capito come costruirla ma non so come leggere i risultati, quindi come riconoscere gli omomorfismi.
Nel caso di gruppi non ciclici come quello dell'esempio postato non capisco come riconoscere i nucli e l'immagini come quando ci sono più candidati. In tal caso l'ordine del dominio è 4 quindi 4=4x1 omomorfismo banale e 4=2x2
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