AIUTO Classi di Congruenza e divisibilità
Non riesco a svolgere alcuni esercizi di Algebra 1 sulle classi di congruenza e sulla divisibilità. Qualcuno può spiegarmi come procedere?
1. Siano n e m interi positivi. Provare che f:$[a]_6$ $in$ $Z_25$ -> $[25a]_6$ $in$ $Z_6$ è biettiva;
2. Determinare, spiegando il procedimento, un divisore primo del numero $2^2017$ + 1;
3. Dimostrare che per ogni intero n il numero 4 + $3^(16n+4)$ è divisibile per 17;
4. Dimostrare che 143 non è divisore di $2^143$ - 1
1. Siano n e m interi positivi. Provare che f:$[a]_6$ $in$ $Z_25$ -> $[25a]_6$ $in$ $Z_6$ è biettiva;
2. Determinare, spiegando il procedimento, un divisore primo del numero $2^2017$ + 1;
3. Dimostrare che per ogni intero n il numero 4 + $3^(16n+4)$ è divisibile per 17;
4. Dimostrare che 143 non è divisore di $2^143$ - 1
Risposte
Ciao,
sei sicura che il testo del primo esercizio sia corretto?
per quanto riguarda gli altri punti:
2)Osserva che $2$ ha ordine $2$ in $\mathbb{Z_3}^{\star}$ e $2017 \equiv 1 mod 2$, quindi $2^{2017} + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 0 mod 3$ quindi $3 | 2^{2017}+1$.
3)Osserva che $(3, 17) = 1$ per il piccolo teorema di fermat(puoi applicare anche eulero in questo caso) hai che $3^{16} \equiv 1 mod 17$, quindi a maggior ragione $3^{16n} \equiv 1 mod 17, \forall n \in \mathbb{N}$. Quindi $3^{16n+4} + 4 \equiv 3^4 + 4 \equiv 34 \equiv 0 mod 17$.
4)per il piccolo teorema di fermat hai che $2^{143} \equiv 2 \mod 143$ quindi $2^{143} - 1 \equiv 2-1 \equiv 1 \mod 143$, quindi $143$ non divide $2^{143} - 1$.
sei sicura che il testo del primo esercizio sia corretto?
per quanto riguarda gli altri punti:
2)Osserva che $2$ ha ordine $2$ in $\mathbb{Z_3}^{\star}$ e $2017 \equiv 1 mod 2$, quindi $2^{2017} + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 0 mod 3$ quindi $3 | 2^{2017}+1$.
3)Osserva che $(3, 17) = 1$ per il piccolo teorema di fermat(puoi applicare anche eulero in questo caso) hai che $3^{16} \equiv 1 mod 17$, quindi a maggior ragione $3^{16n} \equiv 1 mod 17, \forall n \in \mathbb{N}$. Quindi $3^{16n+4} + 4 \equiv 3^4 + 4 \equiv 34 \equiv 0 mod 17$.
4)per il piccolo teorema di fermat hai che $2^{143} \equiv 2 \mod 143$ quindi $2^{143} - 1 \equiv 2-1 \equiv 1 \mod 143$, quindi $143$ non divide $2^{143} - 1$.
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