${a+ibsqrt(13)|a,b in ZZ}$ e' UFD?

[nato_pigro1]

Sia $A$ il sottoanello di $CC$ cos= definito: $A:={a+ibsqrt(13)|a,b in ZZ}$.
a) Quali sono gli elementi invertibili di $A$?
b) L'ideale $(17)$ e; primo in $A$
c) $A$ e' fattoriale?

a) moltiplico due elementi generici di $A$: $a+ibsqrt(13)|$, $c+idsqrt(13)|$ e impongo che il prodotto sia uguale a $1$ ma ottengo le condizioni $bc+ad=0$ e $ac-13bd=0$ ma non ne ricavo niente...
b) primo e irriducibile coincidono solo nei domini fattoriali, giusto?
c) non ho idea di come fare...

[Lorin1]

$A:={a+ibsqrt(13)|a,b in ZZ}$

dalla forma di questo insieme, mi sento di poter dire che si sta parlando dell'estensione quadratica $ZZ[sqrt(-13)]$, quindi:

a)Gli invertibili di A sono quelli con norma minima in A. Poichè si sta parlando di $ZZ[sqrt(-13)]$, gli invertibili sono quegli elementi con norma pari ad 1, quindi basta imporre $N(a+sqrt(-13)b)=1$

b) Per quanto riguarda il concetto di ideale primo e irriducibile, essi coincidono soltanto se l'anello è principale (N.B. "A principale => A fattoriale")

c)Prova a pensare alla definizione di dominio a fattorizzazione unica...


Spero di essere stato chiaro...

[nato_pigro1]

c) so ad esempio che $2*7=14=(1+isqrt(13)*(1-isqrt(13))$ però la cosa sta nel dimostrare che i fattori sono irriducibili e non associati...

[Lorin1]

si giusto....

prendi ad esempio $1+sqrt(-13)$ e supponi che sia riducibile cioè che $1+sqrt(-13) = (a+bsqrt(-13))(c+sqrt(-13))$ e vedi cosa succede.