Aggiunta a "domanda sui polinomi irriducibili"
Leggendo una recente discussione mi si è palesato un dubbio: è evidente che un polinomio che non abbia radici di grado maggiore di 3 non ci può portare a concludere che il polinomio sia irriducibile.
Controesempio:
prendiamo: $g(x)=x^4+3x^2+2$ in Q[x], non ha radici ma è riducibile: $g(x)=(x^2+1)(x^2+2)$ a cui giungo ponendo $t=x^2$ nella prima e risolvendo col delta e risostituendo t.
Qui è facile perché è un esempio che mi sono inventato e sapevo dove volevo andare a parare, ma se in generale $g(x)=x^4+3x^2+2$ fosse più difficile e senza radici come faccio? In altre parole: come potevo portarmi da $g(x)=x^4+3x^2+2$ a $g(x)=(x^2+1)(x^2+2)$ se non mi fossi accorto della sostituzione in t? C'è un metodo? Vi ringrazio.
Controesempio:
prendiamo: $g(x)=x^4+3x^2+2$ in Q[x], non ha radici ma è riducibile: $g(x)=(x^2+1)(x^2+2)$ a cui giungo ponendo $t=x^2$ nella prima e risolvendo col delta e risostituendo t.
Qui è facile perché è un esempio che mi sono inventato e sapevo dove volevo andare a parare, ma se in generale $g(x)=x^4+3x^2+2$ fosse più difficile e senza radici come faccio? In altre parole: come potevo portarmi da $g(x)=x^4+3x^2+2$ a $g(x)=(x^2+1)(x^2+2)$ se non mi fossi accorto della sostituzione in t? C'è un metodo? Vi ringrazio.
Risposte
I polinomi di grado 4 sono risolubili per radicali, quindi alla peggio c'è proprio una formula. Poi che vuol dire "se non mi fossi accorto della sostituzione in $t$"? Se vuoi un metodo ad hoc devi usare le simmetrie del polinomio, come in questo caso il fatto che $\alpha$ è radice se e solo se $-\alpha$ lo è.
Oppure scrivi $g(x)=r(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$, svolgi il prodotto, uguagli i coefficienti e risolvi per trovare il valore di $r,a,b,c,d$.
Vi ringrazio per le risposte molto utili.
Mi soffermo solo su ciò che non ho ben capito.
Cosa vuol dire risolubili per radicali e quale sarebbe la formula di cui parli? Non l'ho mai sentito come termine.
Inoltre, se avessi un grado maggiore di 4? 5,6.. che faccio?
Cosa si intende per simmetrie, non ho ben capito in geenrale a parte questo caso come sfruttarle.
Mi soffermo solo su ciò che non ho ben capito.
I polinomi di grado 4 sono risolubili per radicali, quindi alla peggio c'è proprio una formula.
Cosa vuol dire risolubili per radicali e quale sarebbe la formula di cui parli? Non l'ho mai sentito come termine.
Inoltre, se avessi un grado maggiore di 4? 5,6.. che faccio?
Se vuoi un metodo ad hoc devi usare le simmetrie del polinomio
Cosa si intende per simmetrie, non ho ben capito in geenrale a parte questo caso come sfruttarle.
"aritmetico":
I polinomi di grado 4 sono risolubili per radicali, quindi alla peggio c'è proprio una formula.
Cosa vuol dire risolubili per radicali e quale sarebbe la formula di cui parli? Non l'ho mai sentito come termine.
click
"aritmetico":
Inoltre, se avessi un grado maggiore di 4? 5,6.. che faccio?
Preghi che il polinomio abbia delle simmetrie particolari, altrimenti è complicato farlo a mano. Con simmetrie intendo che il polinomio ha una forma particolare, come nel caso che hai citato tu: lì è un polinomio di grado 4 ma ha solo i termini di grado pari, quindi è una funzione pari. Questo è un esempio di simmetria.
Direi che ora è molto chiaro. Grazie 
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