[Abstract nonsense] L'insieme vuoto
\(\newcommand\nil\varnothing\)Mmmh... vediamo un attimo quali reazioni può avere un post così. Proviamo un po'... Casomai ricalibro il tiro in fase d'opera. Partiamo dalle basi della conoscenza; questo non significa che sia più facile, ma quanto meno da cose molto familiari emerge qualcosa che può cambiare (anzi lo cambia) la visione che abbiamo delle stesse.
È meglio avvisare che verranno usate delle verità vuote. (Ma che termini...
)
In un qualsiasi corso di Analisi 1 o Algebra Lineare sono stati introdotti dei rudimenti di insiemistica, uno tra questi è l'esotico \(\nil\), che ha la proprietà di non possedere alcun elemento: più formalmente vale \[\forall x : x \notin \nil\,.\] È talmente particolare questo oggetto che è anche unico, siccome non bastasse.
Vediamo che ha un'altra proprietà interessante per i nostri scopi... Prima però dobbiamo guardarci attorno e scegliere dove stare, non è una cosa da poco. D'altra parte dentro \(\nil\) non c'è niente. Ci mettiamo tra gli insiemi e le funzioni tra insiemi [nota]Un classicissimo esempio di categoria! Ma per ora potete fare finta di niente, il concetto di categoria verrà formalizzato per bene più tardi.[/nota]. In questo regno \(\nil\) ha questa caratteristica tutt'altro che banale:
\begin{equation}\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : \nil \to X\)}\end{equation} È una proprietà abbastanza inusuale: chi l'ha mai vista una funzione che ha come dominio il vuoto? Invero queste funzioni hanno la stessa dignità di tutte le altre funzioni! Una funzione essenzialmente è un qualcosa di questo tipo: dati due insiemi \(A\) e \(B\), una funzione dal primo insieme al secondo associa ad ogni elemento di \(A\) uno e un solo elemento di \(B\). Nella teoria degli insiemi [nota]dove tutto è praticamente un insieme[/nota], una funzione altro non è che un sottoinsieme \(f\) di \(A \times B\) con la caratterizzazione che per ogni \(x \in A\) esiste un'unica \(y \in B\) tale che \((x,y) \in f\). Bene, bene... Ho evidenziato il quantificatore "ogni", il quale se \(A\) è vuoto porta a una verità vuota in piena regola. Sperando di aver reso accettabile l'esistenza di funzioni con dominio vuoto, facciamo vedere che è unica la funzione della \((1)\).
Siamo anche fortunati, un po' troppo. Il vuoto è proprio l'unico ad avere la proprieta \(1\): voglio dire che se un insieme \(I\) ha la proprietà\[\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : I \to X\)}\,,\] allora \(I=\nil\).
Esercizio. Dimostrare il fatto appena enunciato.
Dico un po' troppo fortunati, perché l'uguaglianza in senso classico è troppo. Bisogna rilassare un po' le cose. Pure il concetto di unicità è troppo ferreo per CT. Ma ci sarà tempo per vedere ciò.
Quello che già abbiamo fatto è interessante.
Meta-esercizio. Da \[\forall x : x \notin \nil\] a \[\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : \nil \to X\)}\] ne è passata di acqua sotto i ponti, in termini di linguaggio. Cos'è cambiato? (Vediamo cosa succede a tirare in causa il lettore in questo modo...)
(Vediamo che sviluppi può avere questa situazione...)
È meglio avvisare che verranno usate delle verità vuote. (Ma che termini...
) In un qualsiasi corso di Analisi 1 o Algebra Lineare sono stati introdotti dei rudimenti di insiemistica, uno tra questi è l'esotico \(\nil\), che ha la proprietà di non possedere alcun elemento: più formalmente vale \[\forall x : x \notin \nil\,.\] È talmente particolare questo oggetto che è anche unico, siccome non bastasse.
...)Vediamo che ha un'altra proprietà interessante per i nostri scopi... Prima però dobbiamo guardarci attorno e scegliere dove stare, non è una cosa da poco. D'altra parte dentro \(\nil\) non c'è niente. Ci mettiamo tra gli insiemi e le funzioni tra insiemi [nota]Un classicissimo esempio di categoria! Ma per ora potete fare finta di niente, il concetto di categoria verrà formalizzato per bene più tardi.[/nota]. In questo regno \(\nil\) ha questa caratteristica tutt'altro che banale:
\begin{equation}\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : \nil \to X\)}\end{equation} È una proprietà abbastanza inusuale: chi l'ha mai vista una funzione che ha come dominio il vuoto? Invero queste funzioni hanno la stessa dignità di tutte le altre funzioni! Una funzione essenzialmente è un qualcosa di questo tipo: dati due insiemi \(A\) e \(B\), una funzione dal primo insieme al secondo associa ad ogni elemento di \(A\) uno e un solo elemento di \(B\). Nella teoria degli insiemi [nota]dove tutto è praticamente un insieme[/nota], una funzione altro non è che un sottoinsieme \(f\) di \(A \times B\) con la caratterizzazione che per ogni \(x \in A\) esiste un'unica \(y \in B\) tale che \((x,y) \in f\). Bene, bene... Ho evidenziato il quantificatore "ogni", il quale se \(A\) è vuoto porta a una verità vuota in piena regola. Sperando di aver reso accettabile l'esistenza di funzioni con dominio vuoto, facciamo vedere che è unica la funzione della \((1)\).
Siamo anche fortunati, un po' troppo. Il vuoto è proprio l'unico ad avere la proprieta \(1\): voglio dire che se un insieme \(I\) ha la proprietà\[\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : I \to X\)}\,,\] allora \(I=\nil\).
Esercizio. Dimostrare il fatto appena enunciato.
Dico un po' troppo fortunati, perché l'uguaglianza in senso classico è troppo. Bisogna rilassare un po' le cose. Pure il concetto di unicità è troppo ferreo per CT. Ma ci sarà tempo per vedere ciò.
Quello che già abbiamo fatto è interessante.
Meta-esercizio. Da \[\forall x : x \notin \nil\] a \[\text{per ogni insieme \(X\) esiste un'unica funzione \(f : \nil \to X\)}\] ne è passata di acqua sotto i ponti, in termini di linguaggio. Cos'è cambiato? (Vediamo cosa succede a tirare in causa il lettore in questo modo...)
(Vediamo che sviluppi può avere questa situazione...)
Risposte
"Epimenide93":
Comunque, noto che il discorso sta prendendo una piega forse inutilmente complicata. La "reinterpretazione" che Indrjo sta abilmente ottenendo per ingegneria inversa di alcune nozioni categoriali può avere, a priori, due scopi
[*:1h7kj0zw] Guardare cosa succede in categorie familiari, ed astrarre i fenomeni in linguaggio puramente categoriale per reinterpretarli/riconoscerli altrove;[/*:m:1h7kj0zw]
[*:1h7kj0zw] Fare fondazioni interamente basate sulle idee della teoria delle categorie.[/*:m:1h7kj0zw][/list:u:1h7kj0zw]
Ora, la prima cosa avviene interamente in ZF(C) (o, quando torna comodo, qualche sua estensione non troppo "preoccupante"), l'uso di un diverso paradigma è puramente funzionale alle diverse tecniche dimostrative applicabili una volta inseriti un paio di tool categoriali nella propria cassetta degli attrezzi.
La seconda cosa è un discorso molto più complicato, e per certi versi destinato ad essere o insoddisfacente (la teoria che si ottiene in maniera "ingenua", ETCS, non è espressiva quanto ZFC), o potenzialmente interessante ma andando a scomodare nozioni, tecniche e tecnicismi che vanno ben oltre degli interessi che possono essere "common ground matematico".
Sì, l'hai detto meglio di come lo stavo per dire io...
sta diventando tutto inutilmente difficile, meglio fare esempi dalla teoria dei gruppi, no?
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