$(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc$
Ieri mi è capitato sotto mano questo problema:
dimostrare che per $a,b,c>0$ vale $(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc$
Io ho provato così:
ipotizzando, senza perdere di generalità $a>=b>=c$ e sviluppando il prodotto si ha:
$a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) >= 6abc$
Per il primo membro, per l'ipotesi $a>=b>=c$, vale
$a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) >= c(c^2+b^2)+c(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) = 2c(a^2 + b^2 + c^2)$
Se quest'ultimo membro risulta maggiore o uguale a $6abc$ allora anche il membro iniziale lo sarà.
Si ha:
$a^2+b^2+c^2 >= 3ab$
Pensavo poi di tralasciare $c^2$, che è sempre positivo, ma ottengo $a^2 + b^2 -2ab >= ab rarr (a-b)^2 >= ab rarr a-b >= root(2)(ab)$
che non è quello che speravo, perchè speravo di ottenere $a+b$ a sinistra.
Non riesco però a sviluppare altre idee.
Qualche hint?:)
dimostrare che per $a,b,c>0$ vale $(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc$
Io ho provato così:
ipotizzando, senza perdere di generalità $a>=b>=c$ e sviluppando il prodotto si ha:
$a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) >= 6abc$
Per il primo membro, per l'ipotesi $a>=b>=c$, vale
$a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) >= c(c^2+b^2)+c(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) = 2c(a^2 + b^2 + c^2)$
Se quest'ultimo membro risulta maggiore o uguale a $6abc$ allora anche il membro iniziale lo sarà.
Si ha:
$a^2+b^2+c^2 >= 3ab$
Pensavo poi di tralasciare $c^2$, che è sempre positivo, ma ottengo $a^2 + b^2 -2ab >= ab rarr (a-b)^2 >= ab rarr a-b >= root(2)(ab)$
che non è quello che speravo, perchè speravo di ottenere $a+b$ a sinistra.
Non riesco però a sviluppare altre idee.
Qualche hint?:)
Risposte
hai principalmente due strade:
1- sviluppi tutto come hai fatto e provi, ma non so se porta a qualcosa di concreto, anzi
2- non tocchi niente e fai qualche furberia, io consiglio di vedere quando c'è l'uguaglianza, poi imporre un altra condizione ed infine notare cosa succede modificando.
EDIT: puo darsi che io sbagli pero
RE-EDIT: non so se l'approcio 1 porta a qualcosa, ma il 2 sicuramente si, anche senza l'imposizione dell altra condizione
1- sviluppi tutto come hai fatto e provi, ma non so se porta a qualcosa di concreto, anzi
2- non tocchi niente e fai qualche furberia, io consiglio di vedere quando c'è l'uguaglianza, poi imporre un altra condizione ed infine notare cosa succede modificando.
EDIT: puo darsi che io sbagli pero
RE-EDIT: non so se l'approcio 1 porta a qualcosa, ma il 2 sicuramente si, anche senza l'imposizione dell altra condizione
Ciao wall!
Alla strada della furberia avevo pensato anche io e avevo provato a vedere l'uguaglianza (che si ha per $a=b=c$). Avevo provato anche a minimizzare due delle tre somme (se $a>=b>=c rarr (a+b)>=2b (b+c)>=2c$) però non mi ha portato molto lontano.
Ho provato invece per induzione, ditemi se può filare.
Provato che per $a=1,b=2,c=3$ vale:
$3 \cdot 5 \cdot 4 >= 8 \cdot 2 \cdot 3 rarr 60>=48$
Provo che vale anche per $a+1,b+1,c+1$ e quindi che vale per ogni terna a,b,c.
Sostituendo ottengo:
$(a+b+2)(a+c+2)(b+c+2) >= 8(a+1)(b+1)(c+1)$
Facendo un bel po' di calcoli (che spero di non aver sbagliato) e riarrangiando si ottiene:
$(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 + b(a^2+c^2) + c(a^2+b^2) + a(b^2+c^2) >= 6abc$
Ora basta dimostrare che uno qualsiasi dei termini a sinistra è maggiore di quello a destra, essendo tutti i termini di destra sempre positivi.
Si ha per ipotesi che:
$(a+b)(a+c)(b+c) = a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) +2abc >= 8abc rarr b(a^2+c^2) + c(a^2+b^2) + a(b^2+c^2) >= 6abc$
Il membro a sinistra in questa disuguaglianza non è altro che un membro della disuguaglianza precedente e poichè, come ho detto prima tutti gli altri termini sono positivi si ha che il passo induttivo è verificato e quindi la tesi è vera per tutte le terne a,b,c.
Cosa ne dite?
EDIT: Potresti dirmi a cosa avevi pensato tu?:)
Alla strada della furberia avevo pensato anche io e avevo provato a vedere l'uguaglianza (che si ha per $a=b=c$). Avevo provato anche a minimizzare due delle tre somme (se $a>=b>=c rarr (a+b)>=2b (b+c)>=2c$) però non mi ha portato molto lontano.
Ho provato invece per induzione, ditemi se può filare.
Provato che per $a=1,b=2,c=3$ vale:
$3 \cdot 5 \cdot 4 >= 8 \cdot 2 \cdot 3 rarr 60>=48$
Provo che vale anche per $a+1,b+1,c+1$ e quindi che vale per ogni terna a,b,c.
Sostituendo ottengo:
$(a+b+2)(a+c+2)(b+c+2) >= 8(a+1)(b+1)(c+1)$
Facendo un bel po' di calcoli (che spero di non aver sbagliato) e riarrangiando si ottiene:
$(a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 + b(a^2+c^2) + c(a^2+b^2) + a(b^2+c^2) >= 6abc$
Ora basta dimostrare che uno qualsiasi dei termini a sinistra è maggiore di quello a destra, essendo tutti i termini di destra sempre positivi.
Si ha per ipotesi che:
$(a+b)(a+c)(b+c) = a(c^2+b^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2) +2abc >= 8abc rarr b(a^2+c^2) + c(a^2+b^2) + a(b^2+c^2) >= 6abc$
Il membro a sinistra in questa disuguaglianza non è altro che un membro della disuguaglianza precedente e poichè, come ho detto prima tutti gli altri termini sono positivi si ha che il passo induttivo è verificato e quindi la tesi è vera per tutte le terne a,b,c.
Cosa ne dite?
EDIT: Potresti dirmi a cosa avevi pensato tu?:)
Hai verificato che è valido per tutte le terne a+1,b+1,c+1, ma non a+1,b+1,c+2...L'induzione su 3 variabili perde efficacia.
potresti provare con le disuguaglianze tra le medie.
potresti provare con le disuguaglianze tra le medie.
Ciao!
Per quanto riguarda l'induzione... non credo funzioni, siamo sui reali, non puoi imporre un +1 a tutti, al massimo potresti provare con b=c+x e a=c+x+y con x,y non negativi e provare a sviluppare (occhio che c'è una questione matematico-filosofica su questa cosa, quindi il tuo prof puo dirti che funziona ma aristotele potrebbe dissentire, personalmente sono d'accordo col prof ), puo darsi che viene ma non l'ho fatto perche son troppi conti
!
Poi avevo pensato a porre a+b+c=k e a lavorare con riarriangiamento e disuguaglianze di quel genere, ma qui mi sono bloccato.
infine l'ho risolto cambiando via, gli indizi per trovarla sono la positivita e l'uguaglianza quando a=b=c, è sempre una furberia, basta prendere termine per termine, vuoi sapere proprio la disuguaglianza a cui ho pensato, cosi, direttamente?
Per quanto riguarda l'induzione... non credo funzioni, siamo sui reali, non puoi imporre un +1 a tutti, al massimo potresti provare con b=c+x e a=c+x+y con x,y non negativi e provare a sviluppare (occhio che c'è una questione matematico-filosofica su questa cosa, quindi il tuo prof puo dirti che funziona ma aristotele potrebbe dissentire, personalmente sono d'accordo col prof ), puo darsi che viene ma non l'ho fatto perche son troppi conti
!Poi avevo pensato a porre a+b+c=k e a lavorare con riarriangiamento e disuguaglianze di quel genere, ma qui mi sono bloccato.
infine l'ho risolto cambiando via, gli indizi per trovarla sono la positivita e l'uguaglianza quando a=b=c, è sempre una furberia, basta prendere termine per termine, vuoi sapere proprio la disuguaglianza a cui ho pensato, cosi, direttamente?
No no, volevo saperla perchè pensavo di aver dimostrato la disuguaglianza!
Provo un altro po' e se proprio non riesco ti chiederò un aiuto magari!
Grazie
Provo un altro po' e se proprio non riesco ti chiederò un aiuto magari!
Grazie
prova a sostituire:
a+b>2rad(ab)
a+c>2rad(ac)
b+c>2rad(bc)
(a+b)(a+c)(b+c)>=2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)
2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)>=8abc
8rad(a^2*b^2*c^2)>=8abc
8abc=8abc
a+b>2rad(ab)
a+c>2rad(ac)
b+c>2rad(bc)
(a+b)(a+c)(b+c)>=2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)
2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)>=8abc
8rad(a^2*b^2*c^2)>=8abc
8abc=8abc
ecco la soluzione...
Un'idea che usa AM-GM.
Funziona?
Funziona?
"Vulplasir":
prova a sostituire:
a+b>2rad(ab)
a+c>2rad(ac)
b+c>2rad(bc)
(a+b)(a+c)(b+c)>=2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)
2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)>=8abc
8rad(a^2*b^2*c^2)>=8abc
8abc=8abc
Non colgo a pieno il fatto perché hai incominciato a mettere \(\displaystyle \ge 8abc \) così presto.
Dato che $(a+b)(a+c)(b+c)>=2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)$
Allora basta vedere se $2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)$ è maggiore o uguale a $8abc$ per verificare la disuguaglianza iniziale
Allora ho posto $2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)>=8abc$ e ho verificato se era vera, e lo è perchè $2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)=8abc$
Allora basta vedere se $2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)$ è maggiore o uguale a $8abc$ per verificare la disuguaglianza iniziale
Allora ho posto $2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)>=8abc$ e ho verificato se era vera, e lo è perchè $2rad(ab)*2rad(ac)*2rad(bc)=8abc$
Che livello di scuola fai?
Perché non è così che si scrive quando vuoi controllare se una disuguaglianza è soddisfatta.
Supponi di voler controllare che \(A\, \rho\, B\) dove \(\rho = \{ <, >, \le, \ge, = \}\) allora quello che fai è costruire una catena del tipo:
\(\displaystyle A\, \rho_0\, A_1\, \rho_1\, A_2 \dotsb A_n\, \rho_n\, B \)
dove la catena di disuguaglianze abbia senso. In genere lo avrai visto nella forma:
\(\displaystyle \begin{align} &A\, \rho_0 \\
\rho_0 &A_1\, \rho_1\\
\rho_1 &A_2\, \rho_2\\
\rho_2 &A_3\, \rho_3\\
&\dotsb \\
\rho_{n-1} &A_n\, \rho_n \, B\\
\end{align} \)
Una notazione comoda e molto usata nei testi universitari è la seguente:
\(\displaystyle \begin{align} A &\rho_0\, A_0\\
&\rho_1\, A_1\\
&\rho_2\, A_2\\
&\rho_3\, A_3\\
&\dotsb \\
&\rho_n \, B\\
\end{align} \)
Per la simmetria della disequazione puoi anche avvicinarti alla soluzione proseguendo in entrambi i senti finché la disequazione tra le due catene non diventa banale.
Perché non è così che si scrive quando vuoi controllare se una disuguaglianza è soddisfatta.
Supponi di voler controllare che \(A\, \rho\, B\) dove \(\rho = \{ <, >, \le, \ge, = \}\) allora quello che fai è costruire una catena del tipo:
\(\displaystyle A\, \rho_0\, A_1\, \rho_1\, A_2 \dotsb A_n\, \rho_n\, B \)
dove la catena di disuguaglianze abbia senso. In genere lo avrai visto nella forma:
\(\displaystyle \begin{align} &A\, \rho_0 \\
\rho_0 &A_1\, \rho_1\\
\rho_1 &A_2\, \rho_2\\
\rho_2 &A_3\, \rho_3\\
&\dotsb \\
\rho_{n-1} &A_n\, \rho_n \, B\\
\end{align} \)
Una notazione comoda e molto usata nei testi universitari è la seguente:
\(\displaystyle \begin{align} A &\rho_0\, A_0\\
&\rho_1\, A_1\\
&\rho_2\, A_2\\
&\rho_3\, A_3\\
&\dotsb \\
&\rho_n \, B\\
\end{align} \)
Per la simmetria della disequazione puoi anche avvicinarti alla soluzione proseguendo in entrambi i senti finché la disequazione tra le due catene non diventa banale.
Io ho dimostrato così:
$(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc rarr (a+b)/2 \cdot (b+c)/2 \cdot (a+c)/2 >= root(2)(ab) \cdot root(2)(bc) \cdot root(2)(ac)$
Ora basta notare che:
$(a+b)/2 >= root(2)(ab)$
$(a+c)/2 >= root(2)(ac)$
$(b+c)/2 >= root(2)(bc)$
Per le disuguaglianze sulle medie.
Poiché da entrambe le parti della diseguaglianza i membri che ho considerato sono moltiplicati fra loro e ognuno dei fattori di sinistra è maggiore o al massimo uguale a un fattore di destra allora il prodotto di sinistra è maggiore o uguale del prodotto di destra.
Fila?
$(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc rarr (a+b)/2 \cdot (b+c)/2 \cdot (a+c)/2 >= root(2)(ab) \cdot root(2)(bc) \cdot root(2)(ac)$
Ora basta notare che:
$(a+b)/2 >= root(2)(ab)$
$(a+c)/2 >= root(2)(ac)$
$(b+c)/2 >= root(2)(bc)$
Per le disuguaglianze sulle medie.
Poiché da entrambe le parti della diseguaglianza i membri che ho considerato sono moltiplicati fra loro e ognuno dei fattori di sinistra è maggiore o al massimo uguale a un fattore di destra allora il prodotto di sinistra è maggiore o uguale del prodotto di destra.
Fila?
(a+b)(a+c)(b+c)≥2rad(ab)*2rad(bc)*2rad(ac)
2rad(ab)*2rad(bc)*2rad(ac)=8abc
ergo
(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc
Non mi parlare di inutili formalismi.
2rad(ab)*2rad(bc)*2rad(ac)=8abc
ergo
(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc
Non mi parlare di inutili formalismi.
Il formalismo matematico non è mai inutile. Il problema della tua notazione è che una persona che legge deve tenere a mente che quella disuguaglianza è ipotetica. È per questo che si preferisce usare notazioni più chiare. In ogni caso dovresti iniziare a dare un'occhiata a come si inseriscono le formule.
Detto questo è stata presentata 3-4 volte la stessa dimostrazione (con minuscole varianti). La dimostrazione è corretta quindi non serve riproporla ulteriormente.
Detto questo è stata presentata 3-4 volte la stessa dimostrazione (con minuscole varianti). La dimostrazione è corretta quindi non serve riproporla ulteriormente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo