$a=b => a+c=b+c$: giustificarlo?!
Sia $a=b$; giustificare $a+c=b+c$.
Non è un'esercizio, ma una cosa tutta mia che mi è venuta fuori questo pomeriggio di ritorno dall'Università mentre ero in metropolitana (tra l'altro non centra niente nemmeno con le lezioni di oggi). La genesi di questa "cacciata" sta nei numeri reali: è arcinoto, infatti, che $forall a,b,c in RR, a=b => a+c=b+c$, da questo banale pensiero mi è venuta la curiosità di provare questo fatto. E la curiosità è cresciuta pensando che questa stessa proprietà si usa in geometria con gli spazi vettoriali, quindi non riguarda solo i reali.
Ovviamente ho cercato di pensare a qualche risposta ma non ne vengo fuori...
Dapprima ho pensato di giustificarlo così: $a=b => a>=b ^^^ b>=a$, quindi per gli assiomi di compatibilità tra struttura d'ordine e struttura algebrica di $RR$ (i.e. $forall a,b,c in RR, a>=b => a+c>=b+c$) risulta $a+c>=b+c ^^^ b+c >=a+c => a+c=b+c$, ma poi ho pensato che non andava, perché nella presentazione assiomatica di $RR$ la relazione $<=$ non viende definita, ma viene caratterizzata attraverso i due assiomi di compatibilità e attraverso il fatto che essa è antisimmetrica, ragione per cui se so che $a<=b ^^^ b<=a$ posso dire che $a=b$, ma non il viceversa.
Allora ho pensato di giustificare la cosa ricorrendo al significato di operazione: se, infatti, in generale, parliamo di $a+b$ stiamo ammettendo che nell'insieme cui appartengono $a,b$ è definita una legge ci composizione che, essendo un'applicazione, implica l'implicazione $a=b=>a+c=b+c$... Ma anche questo non mi convince.
Proposte, idee, suggerimenti?
Non è un'esercizio, ma una cosa tutta mia che mi è venuta fuori questo pomeriggio di ritorno dall'Università mentre ero in metropolitana (tra l'altro non centra niente nemmeno con le lezioni di oggi). La genesi di questa "cacciata" sta nei numeri reali: è arcinoto, infatti, che $forall a,b,c in RR, a=b => a+c=b+c$, da questo banale pensiero mi è venuta la curiosità di provare questo fatto. E la curiosità è cresciuta pensando che questa stessa proprietà si usa in geometria con gli spazi vettoriali, quindi non riguarda solo i reali.
Ovviamente ho cercato di pensare a qualche risposta ma non ne vengo fuori...
Dapprima ho pensato di giustificarlo così: $a=b => a>=b ^^^ b>=a$, quindi per gli assiomi di compatibilità tra struttura d'ordine e struttura algebrica di $RR$ (i.e. $forall a,b,c in RR, a>=b => a+c>=b+c$) risulta $a+c>=b+c ^^^ b+c >=a+c => a+c=b+c$, ma poi ho pensato che non andava, perché nella presentazione assiomatica di $RR$ la relazione $<=$ non viende definita, ma viene caratterizzata attraverso i due assiomi di compatibilità e attraverso il fatto che essa è antisimmetrica, ragione per cui se so che $a<=b ^^^ b<=a$ posso dire che $a=b$, ma non il viceversa.
Allora ho pensato di giustificare la cosa ricorrendo al significato di operazione: se, infatti, in generale, parliamo di $a+b$ stiamo ammettendo che nell'insieme cui appartengono $a,b$ è definita una legge ci composizione che, essendo un'applicazione, implica l'implicazione $a=b=>a+c=b+c$... Ma anche questo non mi convince.
Proposte, idee, suggerimenti?
Risposte
WiZ, sei solito affogare nei bicchieri d'acqua? 
Scusa, ma $a=b$ per ipotesi...
Voglio dire, quando è $a=b$ i simboli $a,b$ sono usati per denotare in modo differente la stessa "cosa"; mi spieghi perchè sommando una stessa quantità $c$ a quella "cosa" (anche se denotata in modi diversi) dovrebbero venir fuori risultati differenti?
In una struttura $\ccS :=(S,**)$, la compatibilità dell'uguaglianza con l'operazione $**$ (ossia la proprietà $AAa,b,c \in S , a=b => a**c=b**c$) è proprio il minimo indispensabile per lavorare e discende dalla stessa definizione d'uguaglianza.
L'implicazione inversa (ossia $AAa,b,c \in S , a**c=b**c => a=b$) non è sempre vera e caratterizza gli elementi regolari di $\ccS$.
(Quello che dico va sempre preso modulo il fatto che non sono algebrista.)
Scusa, ma $a=b$ per ipotesi...
Voglio dire, quando è $a=b$ i simboli $a,b$ sono usati per denotare in modo differente la stessa "cosa"; mi spieghi perchè sommando una stessa quantità $c$ a quella "cosa" (anche se denotata in modi diversi) dovrebbero venir fuori risultati differenti?
In una struttura $\ccS :=(S,**)$, la compatibilità dell'uguaglianza con l'operazione $**$ (ossia la proprietà $AAa,b,c \in S , a=b => a**c=b**c$) è proprio il minimo indispensabile per lavorare e discende dalla stessa definizione d'uguaglianza.
L'implicazione inversa (ossia $AAa,b,c \in S , a**c=b**c => a=b$) non è sempre vera e caratterizza gli elementi regolari di $\ccS$.
(Quello che dico va sempre preso modulo il fatto che non sono algebrista.
)
Mi sembra che una risposta completa richiederebbe una definizione accettabile del concetto di uguaglianza, che non sono in grado di dare. Due cose sono uguali quando sono la stessa cosa, punto (e questo è un concetto innato, non credo che si possa formalizzare). Ne segue che in un'espressione posso sostituire ad una cosa qualcosa ad essa uguale e ottengo lo stesso risultato. Quindi se $a=b$ allora $a+c =$ (sostituendo $a$ con $b$) $=b+c$.
Cosa intendi dicendo che su $RR$ $<=$ non è definito?
nella careatterizzazione di $RR$
Dati $a,b in RR$
Vale una sola delle tre relazioni
$x
quindi non capisco il fatto di a=b e di b=a che problema ti crea.
Per quanto riguarda il comportamento di uno spazio vettoriale e $RR$ credo che sia dovuto al fatto che un campo è anche uno spazio vettoriale su se stesso.
nella careatterizzazione di $RR$
Dati $a,b in RR$
Vale una sola delle tre relazioni
$x
quindi non capisco il fatto di a=b e di b=a che problema ti crea.
Per quanto riguarda il comportamento di uno spazio vettoriale e $RR$ credo che sia dovuto al fatto che un campo è anche uno spazio vettoriale su se stesso.
"Gugo82":
WiZ, sei solito affogare nei bicchieri d'acqua?
E' che non so nuotare, intendo nemmeno mantenermi a galla facendo il morto, quindi...
">Gugo82":
Scusa, ma $a=b$ per ipotesi...
Voglio dire, quando è $a=b$ i simboli $a,b$ sono usati per denotare in modo differente la stessa "cosa"; mi spieghi perchè sommando una stessa quantità $c$ a quella "cosa" (anche se denotata in modi diversi) dovrebbero venir fuori risultati differenti?
In una struttura $\ccS :=(S,**)$, la compatibilità dell'uguaglianza con l'operazione $**$ (ossia la proprietà $AAa,b,c \in S , a=b => a**c=b**c$) è proprio il minimo indispensabile per lavorare e discende dalla stessa definizione d'uguaglianza.
L'implicazione inversa (ossia $AAa,b,c \in S , a**c=b**c => a=b$) non è sempre vera e caratterizza gli elementi regolari di $\ccS$.
(Quello che dico va sempre preso modulo il fatto che non sono algebrista.
Beh, la mia idea per giustificare l'aguaglianza era che, essendo la composizione una funzione, all'ora a elementi uguali del dominio dovevano corrispondere elementi uguali del codominio; ora, se $a=b$, allora $(a,c)=(b,c)$, per cui $**(a,b)=a**b=a**c=**(a,c)$ per definizione di operazione. E questa è una cosa vera ogni volta che si lavora con una operazione.
Comunque quello che dici io lo prendo modulo il fatto che lo dici tu, il che è già cosa importante.
"Martino":
Mi sembra che una risposta completa richiederebbe una definizione accettabile del concetto di uguaglianza, che non sono in grado di dare. Due cose sono uguali quando sono la stessa cosa, punto (e questo è un concetto innato, non credo che si possa formalizzare). Ne segue che in un'espressione posso sostituire ad una cosa qualcosa ad essa uguale e ottengo lo stesso risultato. Quindi se $a=b$ allora $a+c =$ (sostituendo $a$ con $b$) $=b+c$.
Caro Martino, mi fido cecamente anche di te, e concordo: il motivo intuitivo è quello ed infatti per questo mi sento strano quando penso a quello che ho pensato nel proporrmi e proporre il quesito di cui sopra.
Comunque, io so che la relazione di eguaglianza è un concetto primitivo caratterizzato da tre assiomi:
A1) $x=x$
A2) $x=y => f(ldots,x,ldots)=f(ldots,y,ldots)$ per ogni funzione $f$
A3) $x=y => P(ldots,x,ldots)<=>P(ldots,y,ldots)$ per ogni fomula enunciativa $P$ (legge di Leibniz)
In base a questi assiomi, potremmo anche dire che la cosa è giustificata il base ad A2). Il quale A2) deriva a sua volta direttamente dalla definizione di funzione, nel senso che la definizione di funzione è quella che è, con la proprietà $forall x in X, exists ! y in Y : y=f(x)$, non con la proprietà $x=y=>f(x)=f(y)$ perché questa implicazione deriva dal significato primitivo (come suggeriva Martino) della relazione $=$, e noi forti di ciò affermiamo A2) come assioma.
"krek":
Cosa intendi dicendo che su $ℝ ≤$ non è definito?
nella careatterizzazione di $ℝ$
Dati $a,b∈ℝ$
Vale una sola delle tre relazioni
$x
quindi non capisco il fatto di a=b e di b=a che problema ti crea.
Per quanto riguarda il comportamento di uno spazio vettoriale e $RR$ credo che sia dovuto al fatto che un campo è anche uno spazio vettoriale su se stesso.
Intendevo dire che quando si introduce assiomaticamente $RR$ si dice che $RR$ è un campo ben ordinato con relazione d'ordine $<=$ per la quale valgono gli assiomi di compatibilità con $+$ e $*$ (i.e. $forall a,b,c in RR, a<=b => a+c<=b+c$ e $forall a,b in RR, a>=0 ^^^ b>=0, ab>=0$) e si prova come teorema che $a<=b <=> b-a>=0$. In questo senso $<=$ non è definita ma caratterizzata dall'ultima equivalenza. mentre se $RR$ è costruito a partire da $NN$, allora estendendo per gradi la definizione di $<=$ che si da in $NN$, anche in $RR$ la relazione $<=$ è definita e non caratterizzata (faccio notare che io per definizione intendo una biimplicazione data in principio assieme agli assiomi e non suscettibile di necessità di prova per essere accetta).
Scusatemi l'intromissione... noi in Università, al momento di introdurre assiomaticamente $RR$, abbiamo dimostrato una proprietà analoga (in realtà si tratta dell'inversa di quella proposta da WiZaRd): $a+c=b+c=>a=b$. Si faceva così: $a=a+0=a+(c+(-c))=(a+c)+(-c)=(b+c)+(-c)$ (questo passaggio è giustificato dall'ipotesi $a+c=b+c$) $=b+(c+(-c))=b+0=b$.
Immagino quindi che la sostituzione sia una tecnica teoricamente accettabile (logicamente valida sempre e comunque, indipendentemente dall'ambiente di lavoro o dagli assiomi già introdotti). Di conseguenza se $a=b$ è lecito sostituire $b$ ad $a$ nell'espressione $a+c$, ricavando $b+c$. Allora è immediato concludere $a+c=b+c$.
Immagino quindi che la sostituzione sia una tecnica teoricamente accettabile (logicamente valida sempre e comunque, indipendentemente dall'ambiente di lavoro o dagli assiomi già introdotti). Di conseguenza se $a=b$ è lecito sostituire $b$ ad $a$ nell'espressione $a+c$, ricavando $b+c$. Allora è immediato concludere $a+c=b+c$.
E' una questione molto delicata. Dipende dalla definizione di uguaglianza.
Credo che la proprieta' di cui parli derivi appunto dal fatto che per uguaglianza si intende
una relazione di equivalenza definita fra coppie ordinate. La dimostrazione di maurer vale solo
per l'implicazione inversa...
Credo che la proprieta' di cui parli derivi appunto dal fatto che per uguaglianza si intende
una relazione di equivalenza definita fra coppie ordinate. La dimostrazione di maurer vale solo
per l'implicazione inversa...
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