$a + b = a*b, a,b in NN$
Salve a tutti ragazzi,
ieri sera mi è venuto in mente il problema che ho utilizzato come titolo:
Trovare due numeri $a,b in NN$ tali che $a+b = a*b$.
Subito ho notato che se $a=b$ allora si ha come soluzione la coppia $(2,2)$.
Poi mi sono però posto il problema: e se $a>b$?
A occhio non ho trovato soluzioni e ho quindi provato a dare una dimostrazione rigorosa dell'impossibilità di trovare due numeri che soddisfino quella relazione.
Poichè si ipotizza $a>b$ allora si può scrivere $a = b + k$ con $k in NN$.
La relazione diventa quindi: $b + (b + k) = b*(b+k) rarr 2b + k = b^2 + kb rarr b^2 + b(k-2) - k = 0$
Ne segue che affinchè b sia un numero naturale il discriminante dell'equazione di secondo grado così trovata deve essere o zero o un quadrato perfetto.
Il discriminante vale:
$(k-2)^2 -4(-k) = k^2 + 4 -4k + 4k = k^2 + 4$
Il discriminante non può quindi mai essere uguale a zero.
Va valutata ora la possibilità in cui sia un quadrato perfetto. Se fosse un quadrato varrebbe la relazione:
$k^2 + 4 = x^2 + y^2 + 2xy$ con $x,y in NN$
Si può quindi impostare il sistema:
$\{(k^2 = x^2 + y^2), (4 = 2xy):}$
Poichè x e y devono essere numeri naturali allora la relazione $4 = 2xy$ può essere verificata solo per $x = 2, y = 1$ o viceversa, ma è ininfluente.
Il che vuol dire che $k^2 = 4 + 1 = 5 rarr k = root(2)(5)$.
Essendo però $k = root(2)(5)$ vuol dire che $a = b + k in RR$ e perciò decade la condizione $a, b in NN$.
Questo vuol dire che non esistono due numeri naturali $a,b$ diversi tra loro tali che valga la relazione $a + b = a*b$.
Fila come ragionamento?
Veramente quando ho ottenuto il discriminante come:
$k^2 + 4$
Ho notato che equivale a: $k^2 + 2^2$ e e poichè non esiste alcuna terna pitagorica che contiene il numero 2 avevo dedotto che non potesse esistere un k tale che quella somma fosse un quadrato perfetto, ma non sapevo se potesse valere come dimostrazione rigorosa.
ieri sera mi è venuto in mente il problema che ho utilizzato come titolo:
Trovare due numeri $a,b in NN$ tali che $a+b = a*b$.
Subito ho notato che se $a=b$ allora si ha come soluzione la coppia $(2,2)$.
Poi mi sono però posto il problema: e se $a>b$?
A occhio non ho trovato soluzioni e ho quindi provato a dare una dimostrazione rigorosa dell'impossibilità di trovare due numeri che soddisfino quella relazione.
Poichè si ipotizza $a>b$ allora si può scrivere $a = b + k$ con $k in NN$.
La relazione diventa quindi: $b + (b + k) = b*(b+k) rarr 2b + k = b^2 + kb rarr b^2 + b(k-2) - k = 0$
Ne segue che affinchè b sia un numero naturale il discriminante dell'equazione di secondo grado così trovata deve essere o zero o un quadrato perfetto.
Il discriminante vale:
$(k-2)^2 -4(-k) = k^2 + 4 -4k + 4k = k^2 + 4$
Il discriminante non può quindi mai essere uguale a zero.
Va valutata ora la possibilità in cui sia un quadrato perfetto. Se fosse un quadrato varrebbe la relazione:
$k^2 + 4 = x^2 + y^2 + 2xy$ con $x,y in NN$
Si può quindi impostare il sistema:
$\{(k^2 = x^2 + y^2), (4 = 2xy):}$
Poichè x e y devono essere numeri naturali allora la relazione $4 = 2xy$ può essere verificata solo per $x = 2, y = 1$ o viceversa, ma è ininfluente.
Il che vuol dire che $k^2 = 4 + 1 = 5 rarr k = root(2)(5)$.
Essendo però $k = root(2)(5)$ vuol dire che $a = b + k in RR$ e perciò decade la condizione $a, b in NN$.
Questo vuol dire che non esistono due numeri naturali $a,b$ diversi tra loro tali che valga la relazione $a + b = a*b$.
Fila come ragionamento?
Veramente quando ho ottenuto il discriminante come:
$k^2 + 4$
Ho notato che equivale a: $k^2 + 2^2$ e e poichè non esiste alcuna terna pitagorica che contiene il numero 2 avevo dedotto che non potesse esistere un k tale che quella somma fosse un quadrato perfetto, ma non sapevo se potesse valere come dimostrazione rigorosa.
Risposte
In realtà c'è anche la soluzione $a=b=0$
La relazione scritta equivale a
$$a(b-1)=b$$
Che è chiaramente falsa per $b=1$. Quindi posso dividere per $b-1$
$$a=\frac{b}{b-1}$$
Ora $b$ e $b-1$ sono primi fra loro, quindi a meno che non si abbia $b-1=\pm 1$, il loro rapporto non è intero.
Quindi le uniche possibilità rimaste sono $b=0$ e $b=2$, che portano alle uniche due soluzioni.
EDIT
Se vuoi, prova a risolvere questa che è un po' più difficile:
$a+b+c=abc\quad$ con $\quad a,b,c\in \mathbb{N}$
La relazione scritta equivale a
$$a(b-1)=b$$
Che è chiaramente falsa per $b=1$. Quindi posso dividere per $b-1$
$$a=\frac{b}{b-1}$$
Ora $b$ e $b-1$ sono primi fra loro, quindi a meno che non si abbia $b-1=\pm 1$, il loro rapporto non è intero.
Quindi le uniche possibilità rimaste sono $b=0$ e $b=2$, che portano alle uniche due soluzioni.
EDIT
Se vuoi, prova a risolvere questa che è un po' più difficile:
$a+b+c=abc\quad$ con $\quad a,b,c\in \mathbb{N}$
Sì hai ragione, non so perché ho pensato di che $NN$ non contenesse lo zero e allora ho scartato quella soluzione!
Ora provo con il quesito che mi hai proposto
Ora provo con il quesito che mi hai proposto
Devo ammettere che inizialmente mi ha dato molto filo da torcere, però poi ho trovato un modo per risolvere sia questo che il problema precedente in modo molto più veloce. 
$a + b + c = abc <= 3c rarr ab <= 3$
Con $a,b in N$ questo è possibile solo per:
$a = 0$ $b = 0$ (entrambi zero perchè altrimenti non può valere la relazione di partenza), $a = 1$ $b = 1$, $a = 2$ $b = 1$, $a = 3$ $b = 1$
Se $a = 0$ $b = 0 rarr c = 0$ così abbiamo trovato la prima terna $(0,0,0)$
Se $a = 1$ $b = 1 rarr 2 + c = c rarr $ impossibile, quindi questa coppia non può essere soluzione.
Se $a = 2$ $b = 1 rarr 3 + c = 2c rarr c = 3$ quindi un'altra terna è $(2,1,3)$
Se $a = 3$ $b = 1 rarr 4 + c = 3c rarr c = 2$ quindi si ha sempre la terna $(2,1,3)$ solo permutata in $(3,1,2)$
Le possibili terne sono quindi $(0,0,0)$ e $(1,2,3)$ (più sue permutazioni).
Giusto?
$a + b + c = abc <= 3c rarr ab <= 3$
Con $a,b in N$ questo è possibile solo per:
$a = 0$ $b = 0$ (entrambi zero perchè altrimenti non può valere la relazione di partenza), $a = 1$ $b = 1$, $a = 2$ $b = 1$, $a = 3$ $b = 1$
Se $a = 0$ $b = 0 rarr c = 0$ così abbiamo trovato la prima terna $(0,0,0)$
Se $a = 1$ $b = 1 rarr 2 + c = c rarr $ impossibile, quindi questa coppia non può essere soluzione.
Se $a = 2$ $b = 1 rarr 3 + c = 2c rarr c = 3$ quindi un'altra terna è $(2,1,3)$
Se $a = 3$ $b = 1 rarr 4 + c = 3c rarr c = 2$ quindi si ha sempre la terna $(2,1,3)$ solo permutata in $(3,1,2)$
Le possibili terne sono quindi $(0,0,0)$ e $(1,2,3)$ (più sue permutazioni).
Giusto?
Bene 
Il trucco stava proprio nel trovare una "limitazione" per poi ridursi a trattare un numero finito di casi.
Il trucco stava proprio nel trovare una "limitazione" per poi ridursi a trattare un numero finito di casi.
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