9 periodico
Mi fa strano chiedere qui una cosa, perché la matematica non è affatto il mio campo, di solito scrivo in fisica, dunque sono un perfetto incompetente in questa materia. Ma ho una curiosità, e quindi mi arrischio a chiedere.
Se scrivo l'uguaglianza: $1,4\bar 9 = 1,5$, come devo intendere quel segno di uguale? I due membri rappresentano lo stesso numero reale scritto in due modi diversi, oppure trattasi di numeri reali distinti aventi valore coincidente?
Il dubbio mi è venuto facendo considerazioni sulle approssimazioni.
Se voglio approssimare all'intero più vicino seguendo la consueta regola, dovrei scrivere $1,5~~2$, mentre per l'altra rappresentazione dovrei scrivere $1,4\bar 9~~1$.
Se si trattasse proprio dello stesso numero reale mi sembrerebbe strano che il risultato della approssimazione all'intero più prossimo venisse differente a seconda della sua rappresentazione.
Tutto qua. E scusate se ho scritto cavolate, in tal caso scappo subito e torno nella sezione di fisica.
Se scrivo l'uguaglianza: $1,4\bar 9 = 1,5$, come devo intendere quel segno di uguale? I due membri rappresentano lo stesso numero reale scritto in due modi diversi, oppure trattasi di numeri reali distinti aventi valore coincidente?
Il dubbio mi è venuto facendo considerazioni sulle approssimazioni.
Se voglio approssimare all'intero più vicino seguendo la consueta regola, dovrei scrivere $1,5~~2$, mentre per l'altra rappresentazione dovrei scrivere $1,4\bar 9~~1$.
Se si trattasse proprio dello stesso numero reale mi sembrerebbe strano che il risultato della approssimazione all'intero più prossimo venisse differente a seconda della sua rappresentazione.
Tutto qua. E scusate se ho scritto cavolate, in tal caso scappo subito e torno nella sezione di fisica.
Risposte
Per quel (poco) che ne so, è lo stesso numero (ma proprio lo stesso) però in generale, per convenzione, si accetta una sola delle due rappresentazioni (e va da sé che normalmente è quella "finita"); vedi per esempio "P. M. Soardi - Analisi Matematica - Ed. CittàStudi"
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Per quel (poco) che ne so, è lo stesso numero (ma proprio lo stesso) però in generale, per convenzione, si accetta una sola delle due rappresentazioni (e va da sé che normalmente è quella "finita"); vedi per esempio "P. M. Soardi - Analisi Matematica - Ed. CittàStudi"
Cordialmente, Alex
Lo pensavo anch'io, ma allora come si concilia con la mia obiezione sulle diverse approssimazioni?
Io non vedo il problema dato che è lo stesso numero, cioè $1,4\bar9$ lo approssimo come $1,5$, inoltre come detto $1,4\bar9$ NON esiste (oppure non esiste $1,5$, dipende dai gusti 
), perciò non c'è ambiguità: una volta che hai scelto come rappresentarlo utilizzi le regole di approssimazione che ti sei dato.
E comunque il problema è di come si approssima non della rappresentazione matematica ...
...
Cordialmente, Alex
), perciò non c'è ambiguità: una volta che hai scelto come rappresentarlo utilizzi le regole di approssimazione che ti sei dato.E comunque il problema è di come si approssima non della rappresentazione matematica ...
...Cordialmente, Alex
"axpgn":
Io non vedo il problema dato che è lo stesso numero, cioè $1,4\bar9$ lo approssimo come $1,5$, inoltre come detto $1,4\bar9$ NON esiste (oppure non esiste $1,5$, dipende dai gusti
E comunque il problema è di come si approssima non della rappresentazione matematica ...
Cordialmente, Alex
Non mi hai troppo convinto. Non è possibile che a seconda della rappresentazione esca una approssimazione diversa. Infatti la regola di approssimazione dice che se la prima cifra decimale è 5 si va al prossimo intero, se invece è 4 si tronca all'intero precedente.
"Falco5x":
Se scrivo l'uguaglianza: $1,4\bar 9 = 1,5$, come devo intendere quel segno di uguale? I due membri rappresentano lo stesso numero reale scritto in due modi diversi, oppure trattasi di numeri reali distinti aventi valore coincidente?
Sono due rappresentazioni dello stesso numero. È "lo stesso segno di uguaglianza" che usi quando scrivi $1/2 = 2/4$.
Per definizione di rappresentazione decimale, la scrittura \(1.5\) equivale a \(1 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1}\).
Mentre \(1.4\bar 9\) è \[\displaystyle \begin{split} 1 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^{-1} + \sum_{i=0}^{\infty} 9 \cdot 10^{-2-i} =\\ 1 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^{-1} + 9 \cdot 10^{-2 }\sum_{i=0}^{\infty} 10^{-i} =\\ 1 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^{-1} + 9 \cdot 10^{-2 } \cdot \frac{10}{9} = 1 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} \end{split}\].
Che siano due numeri uguali non ci piove, ne sono strasicuro anch'io.
Ma se seguo la regola di approssimazione all'intero più vicino partendo dall'uno o dall'altro giungo a conclusioni diverse, e questo non è accettabile se si tratta proprio del medesimo numero.
Sarebbe come dire che $1/2$ si approssima a 1 mentre $2/4$ si approssima a zero, anche se i due numeri sono uguali! non mi pare logico.
Dunque la conclusione che posso trarre è che la regola di approssimazione basata sulla osservazione della prima cifra decimale dopo la virgola, così come è formulata, cada in difetto in questo caso.
Ma se seguo la regola di approssimazione all'intero più vicino partendo dall'uno o dall'altro giungo a conclusioni diverse, e questo non è accettabile se si tratta proprio del medesimo numero.
Sarebbe come dire che $1/2$ si approssima a 1 mentre $2/4$ si approssima a zero, anche se i due numeri sono uguali! non mi pare logico.
Dunque la conclusione che posso trarre è che la regola di approssimazione basata sulla osservazione della prima cifra decimale dopo la virgola, così come è formulata, cada in difetto in questo caso.
E che t'ho detto? 
"axpgn":
E che t'ho detto?
Ah sì è vero, avevi detto qualcosa del genere.
Allora d'ora in poi assumerò sempre buona la scrittura $1,4\bar 9$ al posto dell'altra e saprò bene come difenderla presso l'agenzia delle entrate nel caso in cui mi contesti qualche arrotondamento nella dichiarazione dei redditi.
"Falco5x":
...
Ma se seguo la regola di approssimazione all'intero più vicino
...
Ma quale sarebbe, la regola di approssimazione all'intero più vicino?
Perchè $1.5$ è equidistante da $1$ e da $2$, dunque non ha un intero più vicino.
E anche $1.4bar9$ è equidistante da $1$ e da $2$.
"Gi8":
[quote="Falco5x"]...
Ma se seguo la regola di approssimazione all'intero più vicino
...
Ma quale sarebbe, la regola di approssimazione all'intero più vicino?
Perchè $1.5$ è equidistante da $1$ e da $2$, dunque non ha un intero più vicino.
E anche $1.4bar9$ è equidistante da $1$ e da $2$.[/quote]
Vero, però la regola dice che se la prima cifra dopo la virgola è un 5 si approssima all'intero superiore.
Penso che questa regola discenda dal fatto che il numero intero più vicino è davvero l'intero superiore nel caso che esistano altri decimali dopo il 5, anche piccolissimi. Solo il caso di $1,50000....$ con infiniti zeri è davvero equidistante tra 1 e 2, e allora dovendo prendere una decisione di arrotondamento anche in questo caso si è presa la strada di assimilarlo al caso più generale in cui qualche decimale successivo non sia nullo. In questo modo la regola è più chiara e semplice, anche se in un solo caso, cioè quello di infiniti zeri dopo la prima decimale, è del tutto arbitraria.
"Falco5x":Eh, allora la regola non va bene (si potrebbe dire "non è ben definita").
...la regola dice che se la prima cifra dopo la virgola è un 5 si approssima all'intero superiore...
Infatti esistono numeri che, in notazione decimale, possono essere scritti in due modi diversi, uno con la prima cifra dopo la virgola uguale a $4$ e uno con la prima cifra dopo la virgola uguale a $5$.
Ad esempio (ovviamente) $1.5= 1.4 bar9$.
Insomma, direi che il problema alla base è come è definita la "regola dell'approssimazione".
Si potrebbe riscrivere così:
per ogni $x in RR$, posto $x_1 := max { a in ZZ | a<=x }$ e $x_2 := min { a in ZZ | a>=x }$,
se $|x-x_1|<|x-x_2|$ allora $x$ si approssima con $x_1$, altrimenti con $x_2$.
Anche se Falco mi prende in giro, l'avevo detto qualche post fa ...
Comunque, premesso che non esiste "una regola dell'approssimazione" univoca, su Wikipedia viene citato un metodo per cui $1,5$ (cioè $15/10$) si approssima a $2$ ma anche $2,5$ (cioè $25/10$) si approssima a $2$; questo perché se "dopo" il $5$ ci sono solo zeri si guarda alla cifra "prima": se è dispari in eccesso, se è pari in difetto ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
E comunque il problema è di come si approssima non della rappresentazione matematica ...
Comunque, premesso che non esiste "una regola dell'approssimazione" univoca, su Wikipedia viene citato un metodo per cui $1,5$ (cioè $15/10$) si approssima a $2$ ma anche $2,5$ (cioè $25/10$) si approssima a $2$; questo perché se "dopo" il $5$ ci sono solo zeri si guarda alla cifra "prima": se è dispari in eccesso, se è pari in difetto ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Comunque, premesso che non esiste "una regola dell'approssimazione" univoca, su Wikipedia viene citato un metodo per cui $1,5$ (cioè $15/10$) si approssima a $2$ ma anche $2,5$ (cioè $25/10$) si approssima a $2$; questo perché se "dopo" il $5$ ci sono solo zeri si guarda alla cifra "prima": se è dispari in eccesso, se è pari in difetto ...
Non conoscevo questa definizione che dà wikipedia.
Comunque, anche in questo caso si arriva a contraddizioni, e il controesempio è lo stesso:
Si ha $1.5 = 1.4 bar9$, ma con la definizione di wikipedia l'approssimazione di $1.5$ è $2$ e l'approssimazione di $1.4 bar 9$ è $1$.
Cioè, al di là di quale regola si scelga, l'importante è che sia scritta bene, in modo da non lasciare spazio ad ambiguità.
Il succo è: dato che si parla di cifre decimali dopo la virgola, bisogna tenere presente che esistono numeri che possono essere espressi (in notazione decimale) in più modi (tra loro equivalenti).
Ma infatti, la questione è proprio quella: manca qualcosa ... ho citato Wikipedia solo per evidenziare il fatto che non esiste una regola accettata da tutti ...
Secondo me, se ho ben capito la questione, quello che manca (per dirla con axpgn) è che state solo facendo confusione.
State confondendo un metodo per aggirare i problemi di rappresentabilità e gestione dei numeri (i.e. l'arrotondamento) dovuti agli "utilizzatori" dei numeri e non dipendenti dalla natura dei numeri stessi con una convenzione necessaria (e rigorosamente giustificabile) per rappresentare i numeri reali in un certo modo al fine di fornirne un modello.
State confondendo un metodo per aggirare i problemi di rappresentabilità e gestione dei numeri (i.e. l'arrotondamento) dovuti agli "utilizzatori" dei numeri e non dipendenti dalla natura dei numeri stessi con una convenzione necessaria (e rigorosamente giustificabile) per rappresentare i numeri reali in un certo modo al fine di fornirne un modello.
La confusione c'era all'inizio, adesso per me è tutto chiaro e mi ritengo soddisfatto.
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