5-Sylow di S_6

[dariuz89]

Salve a tutti, vorrei chiedervi lumi su un esercizio sui sottogruppi di ordine [tex]5[/tex] di [tex]S_6[/tex] (che ha ordine [tex]5\cdot 3^2\cdot 2^4[/tex]). Utilizzando il terzo teorema di Sylow (detto [tex]n_p[/tex] il numero dei p-Sylow, [tex]n_p\equiv 1 (\text{mod } p)[/tex]), mi sono ridotto ai casi [tex]n_5=1,6,16,36[/tex]. Ora, [tex]n_5=1[/tex] l'avrei eliminato perchè altrimenti [tex]N_5[/tex] sarebbe normale in [tex]S_6[/tex], ma ciò non può avvenire perchè altrimenti sarebbe normale anche in [tex]A_6[/tex], che invece sappiamo essere semplice. Ma gli altri casi? Come posso capire precisamente quanti 5-Sylow ci sono??

[Reginald1]

Wow =) c'era al mio compito di algebra..allora, intanto va detto che un sottogruppo di ordine 5 è ciclico ed è generato da un 5-ciclo. Per prima cosa è allora necessario contare i 5-cicli. Sono $frac{6!}{5}$, e in generale se uno ha una permutazione x che ha $k_i$ cicli di lunghezza i, tutte quelle che hanno la stessa struttura ciclica di x in Sn sono $frac{n!}{1^{k_1}*..*n^{k_n}*k_1!*..*k_n!}$ (si ottiene con un po' di conteggi). Ora, per ogni 4 5-cicli c'è esattamente un sottogruppo perchè non si intersecano e perchè se cicli un ciclo (scusa il gioco di parole =) ) ottieni 4 5-cicli diversi e l'identità.. il risultato è allora $frac{6!}{5*4}=36$

[dariuz89]

Temo che il tuo compito di algebra coincidesse col mio a meno che due professori a caso in Italia non abbiano dato lo stesso esercizio di algebra, lo stesso giorno Comunque, io non avevo pensato assolutamente ad un ragionamento combinatorio... io ero partito col teorema di Sylow e cercando di eliminare un po' di casi, ma mi ero arenato perchè 720 non è propriamente un numero piccolo >.<